Beweis einer Vektorkalkülidentität

Question

Beweis einer Vektorkalkülidentität

hyportnex

In https://arxiv.org/abs/hep-ph/0010057 wird die folgende Vektorrechnungsgleichheit ohne Beweis behauptet, obwohl in Anmerkung [4] der kryptische Kommentar gemacht wird, dass „Die Beziehung im Wesentlichen die Impulsraumidentität ist $(\mathbf{k}\times\mathbf{A})^2=\mathbf{k}^2\mathbf{A}^2-(\mathbf{k}\mathbf{A})^2$ im Positionsraum":

Tatsächlich gibt es die Vektorbeziehung:
$\begin{aligned} \int A^{2} (X) D^{3} X & = \frac{1}{4 π} \int D^{3} X D^{3} X^{'} \frac{[\nabla \times A (X)] \cdot [\nabla \times A (X^{'})]}{| X - X^{'} |} \\ (6) & + \frac{1}{4 π} \int D^{3} X D^{3} X^{'} \frac{[\nabla \cdot A (X)] [\nabla \cdot A (X^{'})]}{| X - X^{'} |} \\ + S u R F A C e T e R M S \end{aligned}$ $\begin{align} \int \mathbf{A}^2(x)d^3 x & = \frac{1}{4\pi} \int d^3 x d^3 x' \frac{[\nabla \times \mathbf{A}(x)] \cdot [\nabla \times\mathbf{A}(x')]}{\vert \mathbf{x}-\mathbf{x'} \vert} \\ & \qquad + \frac{1}{4\pi} \int d^3 x d^3 x' \frac{[\nabla \cdot \mathbf{A}(x)] [\nabla \cdot \mathbf{A}(x')]}{\vert \mathbf{x}-\mathbf{x'} \vert} \tag{6}\label{6} \\ & \qquad + \rm{surface\ terms} \end{align}$ Jeder der beiden Terme ist positiv; daher können wir (bis auf die Oberflächentermfrage) das Integral von minimieren $\mathbf{A}^2$ durch Auswählen $\nabla \cdot \mathbf{A} = 0.$ Mit dieser Wahl wird das Integral von $\mathbf{A}^2$ ist in Übereinstimmung mit unseren obigen Bemerkungen minimal und wird nur durch das Magnetfeld ausgedrückt $\nabla \times \mathbf{A}$

Das $\eqref{6}$ ist in der Tat eine sehr interessante Identität, und Gubarev et al. fahren fort, sie auch in relativistisch invarianter Form zu zeigen. Wenn $\mathbf{A}$ ist das Vektorpotential, $\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}$ , dann in der Coulomb-Eichung $\nabla\cdot\mathbf{A}=0$ Und

\int A^{2} (X) D^{3} X = \frac{1}{4 π} \int D^{3} X D^{3} X^{'} \frac{B (X) \cdot B (X^{'})}{| X - X^{'} |} + S u R F A C e T e R M S

$\int \mathbf{A}^2(x)d^3 x = \frac{1}{4\pi} \int d^3 x d^3 x' \frac{\mathbf{B}(x) \cdot \mathbf{B}(x')}{\vert \mathbf{x}-\mathbf{x'} \vert} + \rm{surface\ terms}$ Ignoriert man die „Oberflächenterme“ im Unendlichen und nimmt man an, dass die Integrale von

(6)

$\eqref{6}$ tatsächlich positiv sind, dann haben wir das eichunabhängige Minimum auf der rechten Seite, das nur von dem abhängt

B

$\mathbf{B}$ Feld:

\int A^{2} (X) D^{3} X \geq \frac{1}{4 π} \int D^{3} X D^{3} X^{'} \frac{B (X) \cdot B (X^{'})}{| X - X^{'} |} .

$\int \mathbf{A}^2(x)d^3 x \ge \frac{1}{4\pi} \int d^3 x d^3 x' \frac{\mathbf{B}(x) \cdot \mathbf{B}(x')}{\vert \mathbf{x}-\mathbf{x'} \vert}.$ Ich habe zwei Fragen:

Ich würde gerne eine detailliertere Erklärung des Beweises sehen, der auf der Gleichheit von Impulsraum und Ortsraum basiert
Warum ist es offensichtlich, dass auf der rechten Seite von $\eqref{6}$ jedes der beiden Integrale positiv ist?

flevin Bombastus

Ich bin mir bei Ihrer Frage 2 nicht so sicher, und ich leite Sie nur für Frage 1 an eine andere Stelle weiter, daher denke ich, dass ein Kommentar am besten ist. Die in Anmerkung [4] erwähnte Beziehung ist für zwei beliebige Vektoren leicht zu beweisen, indem man einfach die Expansion brutal erzwingt. Allerdings ist mir nicht ersichtlich, dass diese Beziehung für die Ableitung von (6) tatsächlich relevant ist; das sieht stattdessen wie eine Arbeit aus, die der Ableitung klassischer Zerlegungen vom Helmholtz-Typ ähnelt. Diese Mathematik scheint hilfreich zu sein: en.wikipedia.org/wiki/Helmholtz_decomposition .

Antworten (1)

Beweis einer Vektorkalkülidentität

Ich bin mir bei Ihrer Frage 2 nicht so sicher, und ich leite Sie nur für Frage 1 an eine andere Stelle weiter, daher denke ich, dass ein Kommentar am besten ist. Die in Anmerkung [4] erwähnte Beziehung ist für zwei beliebige Vektoren leicht zu beweisen, indem man einfach die Expansion brutal erzwingt. Allerdings ist mir nicht ersichtlich, dass diese Beziehung für die Ableitung von (6) tatsächlich relevant ist; das sieht stattdessen wie eine Arbeit aus, die der Ableitung klassischer Zerlegungen vom Helmholtz-Typ ähnelt. Diese Mathematik scheint hilfreich zu sein: en.wikipedia.org/wiki/Helmholtz_decomposition .

hyportnex · Answer 1

Wie @flevinBombastus vorgeschlagen hat, ist hier eine Skizze des Beweises der Gleichheit in Gleichung $(6)$ basierend auf [1]. Beginnen mit

\nabla^{2} \frac{1}{| X - X^{'} |} = - δ (X - X^{'})

$\nabla^2\frac{1}{|\mathbf x - \mathbf x'|}=-\delta(\mathbf x - \mathbf x')$ Und

\nabla \times (\nabla \times v) = \nabla (\nabla \cdot v) - \nabla^{2} v

$\nabla \times (\nabla \times \mathbf v)=\nabla (\nabla\cdot \mathbf v) - \nabla^2 \mathbf v$ Dann

A (X) = \int D^{3} X^{'} A (X^{'}) δ (X - X^{'}) = - \int D^{3} X^{'} A (X^{'}) \nabla^{' 2} \frac{1}{| X - X^{'} |},

$\mathbf{A}(\mathbf x) = \int d^3x' \mathbf{A}(\mathbf x')\delta(\mathbf x - \mathbf x') =-\int d^3x' \mathbf{A}(\mathbf x')\nabla'^2\frac{1}{|\mathbf x - \mathbf x'|},$ Deshalb

\int D^{3} X A (X) \cdot A (X) = - \int \int D^{3} X D^{3} X^{'} A (X) \cdot A (X^{'}) \nabla^{' 2} \frac{1}{| X - X^{'} |}

$\int d^3x \mathbf{A}(\mathbf x)\cdot\mathbf{A}(\mathbf x)=-\int\int d^3x d^3x' \mathbf{A}(\mathbf x)\cdot \mathbf{A}(\mathbf x')\nabla'^2\frac{1}{|\mathbf x - \mathbf x'|}$

Integrieren Sie nun RHS von Teilen über $\mathbf x'$ . Wenn $\mathbf A$ im Unendlichen verschwindet, dann verschwindet der Oberflächenterm, und nach einigen weiteren Umordnungen und partieller Integration erhalten wir die erforderliche Identität Gl. (6). Interessanterweise funktioniert das gleiche Verfahren auch für das Skalarprodukt zweier Vektorfelder. Damit ist die 1. Frage erledigt.

[1] Durand: „On an identity for the volume integral of the square of a vector field“, Am.J.Phys. 75 (6), Juni 2007

Beweis einer Vektorkalkülidentität

hyportnex

flevin Bombastus

Antworten (1)

hyportnex

Wie ist die Kräuselung des elektrischen Feldes möglich?

Sind die Feldlinien in einem Stabmagnetdiagramm Höhenlinien?

Welche "Form" hat das elektrische Potential einer bewegten Ladung? Lässt sich das Feld als Gradient ableiten?

Widerspricht "Die Kräuselung des Gradienten eines Skalarfelds ist identisch Null" dem Faradayschen Gesetz? [Duplikat]

Ist das elektromagnetische Vektorfeld eine Summe aus E und B?

Auswahl eines Solenoid-Vektorpotentials bei der Messgerätefixierung

Ursprung des Feldes aus Potential abgeleitet

Eindeutigkeitssatz im gleichförmigen elektrischen Feld

Gibt es ein Potenzial, das mit Magnetismus verbunden ist?

Warum ist die Richtung des elektrischen Feldes diejenige, die von den höchsten zu den niedrigsten Werten eines elektrischen Potentials reicht?