Frage zur Lagrange-Ableitung 1. Ordnung im Faddeev-Jackiw-Formalismus

Ich schaue mir diese Referenz an (sorry, es ist eine Postscript-Datei, aber ich kann keine PDF-Version im Internet finden. Dieses Dokument beschreibt ein ähnliches Verfahren).

Das Thema ist die Faddeev-Jackiw-Behandlung von Lagrangians, die Singular sind (Hessian verschwindet) - ähnlich wie bei Dirac, aber ohne die Notwendigkeit, zwischen Einschränkungen erster und zweiter Klasse zu unterscheiden. Ich schaue mir hier nur klassische Sachen an, keine Quantisierung.

Beginnend mit dem Maxwell-Lagrangian

$$\mathcal{L}=F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$

Wo

$$F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}$$

Wir sehen, dass es sich um zeitliche Ableitungen zweiter Ordnung handelt, die auf A wirken.

Wir entscheiden uns dafür, es in Form der ersten Bestellung so zu schreiben

$$\mathcal{L}=(\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu})F^{\mu\nu}-{1\over{2}}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$

wo wir behandeln$F^{\mu\nu}$jetzt als Hilfsvariable, unabhängige Variable. Nachdem er dies definiert hat, sagt Faddeev

"wir schreiben (die letzte Gleichung) um als:

$$\mathcal{L}=(\partial_{0}A_{k})F^{0k}+A_{0}(\partial_{k}F^{0k})-F^{ik}(\partial_{i}A_{k}-\partial_{k}A_{i})-{1\over{2}}(F^{0k})^2-{1\over{2}}(F^{ik})^2$$ "

Meine Frage ist, wie er aus der vorherigen Gleichung darauf kommt? Ich verstehe nicht, wie es mich jemals dazu bringt, die Indizes einfach in Zeit- und Raumwerte zu erweitern$A_{0}(\partial_{k}F^{0k})$

Ich kann sehen, dass da etwas Besonderes ist$A_{0}$, seit wann schreibe ich den EOM für die Lagrangian erster Ordnung,$A_{0}$fällt aus, was es tatsächlich tun sollte, weil wir am Ende einen Lagrange-Multiplikator haben werden. Ich verstehe einfach nicht, wie Sie auf diesen Begriff kommen, mit$A_{0}$multiplizieren$\partial_{k}F^{0k}$.

Da stimmt es eindeutig$A_{0}divE$ist nur die Einschränkung des Gaußschen Gesetzes.