Fehlende Terme im Hamilton-Operator nach Legendre-Transformation des Lagrange-Operators

I) Für eine allgemeine Lagrange-Funktion$L(q,v,t)$, kann die Legendre-Transformation singulär sein, dh die Geschwindigkeiten$v^i$in den Impulsbeziehungen

$$\tag{1} p_i~:=~\frac{\partial L(q,v,t)}{\partial v^i}$$

kann nicht isoliert werden. Wie man eine singuläre Legendre-Transformation durchführt, um die entsprechende Hamiltonsche Formulierung zu erhalten, geht unter dem Namen Dirac-Bergmann-Analyse, vgl. Ref. 1 und 2.

II) Beispiel. OP erwägt offensichtlich das EM-Modell von Hopfields mit Polarisation, das auch in diesem Phys.SE-Beitrag untersucht wurde. Seine Lagrange-Dichte$^1$

$$\tag{2} {\cal L}(A_{\mu},{\bf P}) ~=~-\frac{1}{16\pi}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} +A_{\mu} J^{\mu}_b +\frac{1}{2\beta}\left(\frac{1}{\omega_0^2}\dot{\bf P}^2 -{\bf P}^2\right)$$

führt zu einer singulären Legendre-Transformation. Das Momentum

$$\tag{3} \pi^0~:=~\frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{A}_0}~=~0$$

Entsprechend der$A_0$Feld verschwindet! Gl. (3) ist eine Hauptbeschränkung in der Terminologie von Dirac. Man kann zeigen, dass es auch eine sekundäre Nebenbedingung gibt, nämlich das Gesetz von Gauß

$$\tag{4} {\bf \nabla}\cdot {\bf D}~=~0,$$

Wo${\bf D}={\bf E}+4\pi{\bf P}$. (Bei diesem Modell fallen keine kostenlosen Gebühren an.) Das Momentum${\bf \pi}=-\frac{1}{4\pi}{\bf E}$für das magnetische Vektorpotential${\bf A}$ist im Wesentlichen das elektrische Feld${\bf E}$. Lassen${\bf \Pi}$sei der Impuls für die Polarisierung${\bf P}$. Man kann zeigen, dass die Hamiltonsche Dichte wird

$$\tag{5} {\cal H}(A_{\mu},{\bf E},{\bf P},{\bf \Pi}) ~=~ \frac{1}{8\pi}({\bf E}^2+{\bf B}^2) +\frac{1}{4\pi}A_0 {\bf \nabla}\cdot {\bf D} +\frac{\beta\omega_0^2}{2}({\bf \Pi}-{\bf A})^2 +\frac{1}{2\beta}{\bf P}^2,$$

nach dem Fallenlassen eines totalen Divergenzterms und Eliminieren der$\pi^0$Feld.

III) Technisch gesehen ist das, was OP in seine zweite Gleichung schreibt, nicht die Hamiltonsche Dichte${\cal H}$sondern die Lagrange-Energiedichtefunktion

$$\tag{6} {\cal h}(A_{\mu},\dot{\bf A},{\bf P},\dot{\bf P}) ~:=~\dot{A}_{\mu} \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{A}_{\mu}} + \dot{\bf P}\cdot \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{\bf P}}-{\cal L}.$$

IV) Allgemeiner geht es um die Lagrange-Energiefunktion$h$hängt von Geschwindigkeiten ab$v$, während der Hamiltonian$H$hängt von Momenten ab$p$. Wenn der Lagrange von der Form ist

$$\tag{7} L~=~\sum_{n=0}^{2}L_n,$$

Wo$L_n$ist homogen in den Geschwindigkeiten$v$mit Gewicht$n$(dh die Lagrange-Funktion (7) hängt von den Geschwindigkeiten bis zur quadratischen Ordnung ab), dann ist die Lagrange-Energiefunktion

$$\tag{8} h~:=~~\left(v^i\frac{\partial}{\partial v^i}-1\right) L ~=~\sum_{n=0}^{2}(n-1)L_n ~=~ L_2 - L_0.$$

In Worten: Die quadratischen Terme$L_2$erhalten bleiben, die linearen Terme$L_1$verschwinden, und die konstanten Begriffe$L_0$Schilder umdrehen.

Verweise:

1. PAM Dirac, Vorlesungen über Quantenmechanik, 1964.

2. M. Henneaux und C. Teitelboim, Quantisierung von Eichsystemen, 1994.

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$^1$In dieser Antwort arbeiten wir mit cgs-Einheiten, bei denen die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist$c=1$, und Minkowski-Signatur$(-,+,+,+)$, vgl. diese Phys.SE-Antwort.