Gibt es einen Hamiltonoperator für das (klassische) elektromagnetische Feld? Wenn ja, wie kann es aus dem Lagrange abgeleitet werden?

Ja. Es gibt einen Standardweg, um die Feldtheorie zu verallgemeinern.

Lassen Sie eine Theorie von$n\geq 1$Felder$\phi^i$mit einer Lagrange-Dichte$\mathcal L = \mathcal L(\phi^i, \partial_\mu\phi^i)$gegeben werden. Hier verwenden wir den üblichen Notationsmissbrauch, in dem$\phi^i$bezeichnet den Vektor, dessen Komponenten die Felder sind;$\phi^i = (\phi^1, \dots, \phi^n)$.

Um die entsprechende Hamilton-Dichte zu erhalten, definiert man zunächst den folgenden kanonischen Impuls, der dem Feld entspricht$\phi^i$:

$$\begin{align} \pi_i(x) = \frac{\partial \mathcal L}{\partial\dot \phi^i}(\phi^i(x), \partial_\mu\phi^i(x)), \qquad \dot\phi^i := \partial_t\phi^i \tag{1} \end{align}$$ Dann ist die Hamiltonsche Dichte $$\begin{align} \mathcal H = \pi_i\dot\phi^i - \mathcal L \end{align}$$ wo eine Summe über $i$ist impliziert. Beachten Sie, dass wie in der klassischen Mechanik auf der rechten Seite dieses Ausdrucks $\dot \phi^i$sollte durch den Ausdruck in Bezug auf ersetzt werden $\pi_i,\phi^i$so dass der Hamiltonoperator eine Funktion von ist $(\pi_i, \phi^i)$nur, nämlich $$\begin{align} \mathcal H(\pi_i, \phi^i) = \pi_j \,\dot\phi^j(\pi_i,\phi^i) - \mathcal L(\phi^i, \dot\phi(\pi_i,\phi^i)). \end{align}$$ Auch hier haben wir die Schreibweise leicht missbraucht $\dot\phi^i$als Funktion von $\pi_i$und $\phi^i$. Was wir meinen, ist der Ausdruck für $\dot\phi^i$erhält man durch Lösen der Definition $(1)$des kanonischen Impulses für $\dot\phi^i$bezüglich $\pi_i$und $\phi^i$.

In Ihrem Fall sind die Felder$A^\mu$mit entsprechenden Impulsen$\pi_\mu$.

Ja. Es ist nicht nur möglich, eine Hamilton-Dichte zu finden, sondern es ist sogar möglich, einen einfachen Hamilton-Operator zu finden.

Die Konstruktion habe ich in dieser EPL ArXiv1303.6143 : Euro Physics Letters, 103 (2013) 28004 angegeben

Dieser Brief ist kurz, aber dicht, ich kann hier nur die Methode skizzieren.

Der Grund, warum Sie für das elektromagnetische Feld keinen Hamiltonian schreiben können, ist, dass Sie es mit einem Kontinuum von Freiheitsgraden darstellen. Sie können also nur eine hamiltonsche Dichte finden. Dies steht im Gegensatz zu "normalen" mechanischen Systemen, die durch einen diskreten Satz von Freiheitsgraden dargestellt werden. In diesem Fall finden Sie eine Hamilton-Funktion , keine Dichte.

Der Hauptschritt besteht also darin, das Feld zu diskretisieren, ohne jedoch irgendeine Annäherung vorzunehmen. Das klingt widersprüchlich, ist es aber eigentlich nicht. Nehmen wir das Beispiel einer periodisch stetigen Funktion. Es hat unendlich viele Freiheitsgrade. Aber da es periodisch ist, können Sie es mit einer Fourier-Reihe darstellen. Die Fourier-Koeffizienten sind ein unendlicher Satz diskreter Parameter, die genau Ihre Funktion darstellen. Es ist Ihnen also gelungen, Ihre Funktion zu diskretisieren, ohne eine Annäherung vorzunehmen. Diese Koeffizienten sind die kanonischen Variablen der Hamilton-Funktion.

Im Fall des elektromagnetischen Feldes brauchen wir ein mathematisches Werkzeug, das der russische Mathematiker Israel Gel'fand gefunden hat. Diese Gel'fand-Transformation ist der Fourier-Reihe in vielen Aspekten sehr ähnlich. Dank ihr (und der modalen Zerlegung) ist es möglich, das Feld zu diskretisieren und seine Hamilton-Funktion zu finden. Beachten Sie, dass keine Annäherung festgelegt wird und nur minimale Hypothesen erforderlich sind. Voraussetzung ist lediglich, dass die Randbedingungen des Gebiets räumlich periodisch sind (Periode$d$).

Das Ergebnis (Gleichung 22 des Briefes) ist, dass das elektromagnetische Feld durch eine Kette gekoppelter harmonischer Oszillatoren dargestellt wird. Die kanonischen Variablen sind die Paare konjugierter Variablen$V_n$und$I_n$jedes einzelnen Oszillators:

$$\mathcal{H}_\mathrm{em}(V_n,I_n, n \in \mathbb{Z}) = \frac{1}{2} \sum_{n \ge m} \Omega_{n-m}(V_{n}V_{m}+I_{n}I_{m})$$ Die Kopplungskoeffizienten sind durch die Fourier-Reihe der Ausbreitungsdispersionskurve gegeben$\omega(\beta d)$der Struktur: $$\omega(\beta)=\sum_{m=-\infty}^{+\infty}\Omega_m e^{m \beta d}$$ Das elektrische (bzw. magnetische) Feld ist gegeben durch die$V_n$(bzw.$I_n$) und durch eine Funktion$E_0$(bzw.$H_0$) des Raums, der nur von der Geometrie des Gebiets abhängt: $$E(x,t)=\sum_n V_n(t) E_0(x-nd)$$ Diese Funktion des Raumes$E_0$ist die inverse Gel'fand-Transformation der Moden, die sich in der Domäne ausbreiten.