Zweifel an der Konsistenzbedingung der Nebenbedingung der Elektrodynamik

Über die Dirac-Methode für den Elektromagnetismus, Forderung nach Konsistenz bei der sekundären Einschränkung$X$(was identisch erreicht werden sollte, da es keine weiteren Einschränkungen gibt),

$$X_{\mathbf{x}}[\pi, \lambda] \equiv \int d^3x \,\lambda(\mathbf{x}) (\partial_i\pi^i-j^0)(\mathbf{x}) \approx 0$$

Ich bekomme

$$\begin{split} 0\overset{!}{\approx }\dot{X}\approx & \{X(\mathbf{x}),H_{P}(\mathbf{y})\} =-\int d^3z \, \frac{\delta H_P(\mathbf{y})}{\delta A^{\mu}(\mathbf{z})}\frac{\delta X(\mathbf{x})}{\delta \pi^{\mu}(\mathbf{z})} \\ \approx&\int d^3z \, \frac{\delta H_P(\mathbf{y})}{\delta A^{i}(\mathbf{z})}\partial_i [\lambda(\mathbf{x}) \delta(\mathbf{x}-\mathbf{z})] \\ \therefore & \; \; 0\approx \;\partial_i \frac{\delta H_P}{\delta A^{i}}=\partial_i \partial_j F^{ji}-\partial_i j^i = -\partial_i j^i \end{split}$$

Mit$H_P$der primäre Hamiltonian für die Elektrodynamik mit Quellen, mit Dichte

$$\mathscr{H}_P=\frac{1}{4}F^{i j} F_{i j} -\frac{1}{2}\pi^{i}\pi_{i} -A_0 \partial_i \pi^{i} + j^{\mu}A_{\mu} + \lambda_1 \pi^0$$

Nun, die erste Amtszeit von$\dot{X}$ist natürlich identisch Null, was die Konsistenz der sekundären Beschränkung auf Elektrodynamik ohne Quellen garantiert. Das Problem ist, dass mir der Begriff bleibt$\partial_i j^i$das hat keinen Grund, Null zu sein (anders als$\partial_{\mu} j^{\mu}=0$, Natürlich).

Es ist schon eine Weile her, seit ich hier feststecke, und ich wäre sehr dankbar, wenn mich jemand zumindest in die richtige Richtung weisen könnte.

Bearbeiten: Ich begann mit der Lagrange-Dichte

$$\mathscr{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}-j^{\mu}A_{\mu}$$