Hamiltons Bewegungsgleichungen auf Diracs Formalismus

Question

Hamiltons Bewegungsgleichungen auf Diracs Formalismus

GaloisFan

Ich habe einige Zweifel an dem vom Dirac-Bergmann-Algorithmus vorgeschlagenen Verfahren, um die korrekten Bewegungsgleichungen der Elektrodynamik (Maxwell-Gleichungen) zu erhalten.

Angenommen, ich habe die primäre Einschränkung bereits gefunden, $\pi^0 \approx 0$ , die sekundäre, $\partial_i \pi^i - j^0 \approx 0$ , und verifiziert, dass keine unabhängigen oder widersprüchlichen Bedingungen mehr aufgetreten sind, und überprüft, ob beide Einschränkungen erstklassig sind.

Danach bin ich über viele Dinge verwirrt. Vielleicht ist es besser, wenn ich beschreibe, was ich tue. Also habe ich beide Einschränkungen über Multiplikatoren an die Hamilton-Dichte gekoppelt:

H_{e X T} = \frac{1}{4} F_{ich J} F^{ich J} - \frac{1}{2} π_{ich} π^{ich} - A_{0} \partial_{ich} π^{ich} + J^{μ} A_{μ} + λ_{1} π^{0} + λ_{2} \partial_{ich} π^{ich}

$\begin{equation} \mathcal{H}_{ext}=\frac{1}{4}F_{ij}F^{ij}-\frac{1}{2}\pi_i \pi^i -A_0\partial_i \pi^i + j^{\mu} A_{\mu} + \lambda_1 \pi^0 + \lambda_2 \partial_i \pi^i \end{equation}$

Wo $F^{ij}$ ist der übliche elektromagnetische Tensor, $A_{\mu}=(V,\vec{A})$ , $j^{\mu}=(\rho,\vec{j})$ Und $\pi^\mu$ der kanonische Impuls konjugiert zu $A_\mu$ . Dann suchte ich den EOM:

\dot{π^{ω}} = {π^{ω}, H_{e X T}} = - \frac{δ H_{e X T}}{δ A_{ω}} = \partial_{ich} \frac{\partial H}{\partial (\partial_{ich} A_{ω})} - \frac{\partial H}{\partial A_{ω}}

$\begin{equation} \dot{\pi^{\omega}}=\{\pi^{\omega},H_{ext}\}=-\frac{\delta H_{ext}}{\delta A_{\omega}}=\partial_i\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial (\partial_i A_{\omega})}-\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial A_{\omega}} \\ \end{equation}$

\dot{A_{ω}} = {A_{ω}, H_{e X T}} = \frac{δ H_{e X T}}{δ π^{ω}} = \frac{\partial H}{\partial π^{ω}} - \partial_{ich} \frac{\partial H}{\partial (\partial_{ich} π^{ω})}

$\begin{equation} \dot{A_{\omega}}=\{A_{\omega},H_{ext}\}=\frac{\delta H_{ext}}{\delta \pi^{\omega}}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \pi^{\omega}}-\partial_i\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial (\partial_i \pi^{\omega})} \end{equation}$

wobei die zweite Gleichheit trivialerweise aus der (Auswertung der) Definition der Poisson-Klammer stammt. Bei der Berechnung erhalte ich folgendes

\begin{aligned} \dot{π^{0}} & = \partial_{ich} F^{ich 0} + \partial_{ich} π^{ich} - J^{0} \to \partial_{ich} F^{ich 0} \approx 0 \\ \dot{π^{k}} & = \partial_{ich} F^{ich k} - J^{k} \end{aligned}

$\begin{align} \dot{\pi^{0}}&=\partial_i F^{i0}+\partial_i \pi^i -j^0 \to \partial_i F^{i0} \approx 0 \\ \dot{\pi^k}&=\partial_i F^{ik}-j^k \end{align}$

Und

\begin{aligned} \dot{A_{0}} & = λ_{1} - π_{0} + \partial_{0} A_{0} - \partial_{0} λ_{2} \to \dot{A_{0}} \approx λ_{1} + \partial_{0} A_{0} - \partial_{0} λ_{2} \\ \dot{A_{ich}} & = \partial_{ich} A_{0} - π_{ich} - \partial_{ich} λ_{2} \end{aligned}

$\begin{align} \dot{A_0}&=\lambda_1-\pi_0+\partial_0 A_0 - \partial_0 \lambda_2 \to \dot{A_0}\approx\lambda_1+\partial_0 A_0 - \partial_0 \lambda_2\\ \dot{A_i}&=\partial_i A_0 -\pi_i-\partial_i \lambda_2 \end{align}$

Also meine Zweifel:

(1) Ich nehme an, dass meine Berechnungen falsch sind, weil ich nicht in der Lage bin, die inhomogenen Maxwell-Gleichungen auf meinen Ergebnissen so zu erkennen, wie ich es (glaube) tun sollte ( $\partial_{\mu}F^{\mu \nu}=j^{\nu}$ ) und ich kann den Fehler nicht finden.

(2) Obwohl ich weiß, dass dies Teil der Grundlagen der Theorie ist, kann ich nicht herausfinden, ob ich den Hamiltonian nur mit den primären Einschränkungen (wie mein zweifelnder Orientierungsgeber sagt) gekoppelt oder mit allen Kopplungen erster Klasse verwenden soll oder sogar mit dem vollständigen erweiterten Hamiltonian (wie ich hier bezeichnet habe und der in diesem Fall mit dem Fall übereinstimmt, der alle erstklassigen Einschränkungen gekoppelt hat), und natürlich nicht wissen, warum der richtige Fall richtig ist. Ich kann dies aus den Lehrbüchern nicht erkennen, die das Thema matrizial „alles in einem“ behandeln.

Ich weiß, dass der richtige Weg, diese Bemerkungen zu verstehen, darin besteht, ein wenig zurückzugehen und von vorne zu beginnen (sogar von den vorausgesetzten Themen), um die Theorie zu assimilieren, bis sie nahe daran ist, intuitiv zu sein, aber ich habe das erschöpfend getan und nur bekommen verwirrter.

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Hamiltons Bewegungsgleichungen auf Diracs Formalismus

ACuriousMind · Answer 1

Es ist von vornherein völlig richtig, sowohl primäre als auch sekundäre Einschränkungen zur Hamiltonschen Dichte durch Lagrange-Multiplikatoren hinzuzufügen . Was nicht stimmt, ist, wie Sie die Bewegungsgleichungen ermittelt haben:

Es gibt kein " $F^{i0}$ " in der Hamiltonschen Theorie! Es heißt $\pi^i$ dort und es ist nicht abhängig $\partial_i A_0$ , es ist eine unabhängige kanonische Variable! Ich weiß nicht, wie du darauf gekommen bist $F^{i0}$ in deinem Ausdruck für $\dot{\pi}^0$ , aber es ist nicht da. Die richtige Bewegungsgleichung ist nur die sekundäre Einschränkung $\begin{matrix} (1a) & {\dot{π}}^{0} = \partial_{ich} π^{ich} - J^{0} \end{matrix}$ $\dot{\pi}^0 = \partial_i \pi^i - j^0\tag{1a}$
Die Bewegungsgleichung $\begin{matrix} (1b) & {\dot{π}}^{k} = \partial_{ich} F^{ich k} - J^{k} \end{matrix}$ $\dot{\pi}^k = \partial_i F^{ik}\tag{1b} - j^k$ ist richtig.
Die Bewegungsgleichung für $A_0$ ist nur $\begin{matrix} (1c) & {\dot{A}}_{0} = λ_{1} \end{matrix}$ $\dot{A}_0 = \lambda_1\tag{1c}$ und ich weiß nicht, woher deine anderen Begriffe kommen. Der einzige Term im Hamiltonian, der davon abhängt $\pi^0$ Ist $\lambda_1\pi^0$ , und kein Begriff hängt von ab $\partial_i \pi^0$ .
Die Bewegungsgleichung für $A_i$ , $\begin{matrix} (1d) & {\dot{A}}_{ich} = - π_{ich} + \partial_{ich} A_{0} - \partial_{ich} λ_{2} \end{matrix}$ $\dot{A}_i = -\pi_i + \partial_i A_0 - \partial_i \lambda_2 \tag{1d}$ ist richtig.

Die Maxwell-Gleichungen werden nun wie folgt erhalten:

Identifizieren $E^i = -\pi^i$ , wir sehen das $\nabla\cdot E = \rho$ ist keine Bewegungsgleichung für $A$ oder $\pi$ , sondern eine Zwangsbedingung oder die Bewegungsgleichung für $\lambda_2$ , was auch immer du bevorzugst. Insbesondere Gl. (1a) hat keinen dynamischen Inhalt.
Identifizieren $B_i \propto \epsilon_{ijk}F^{jk}$ , Gl. (1b) ist $\nabla\times B - \dot{E} = j$ .
Gl. (1c) hat keinen dynamischen Inhalt, da es sich nur um Lagrange-Multiplikatoren handelt. Wir können die Spurweite auswählen $\lambda_1 = 0$ zu rendern $A_0$ zeitlich konstant.
Gl. (1d) wird $\pi_i = \partial_i A_0 - \dot{A}_i$ bei der Messgerätewahl $\lambda_2 = 0$ , das ist nur die Gleichung $E = \nabla\phi -\partial_t A$ .

Wenn Sie sich fragen, wohin die andere Hälfte von Maxwells Gleichungen gegangen ist – es ist in der Definition von $F$ ! Beide $\nabla\cdot B = 0$ Und $\nabla\times E + \partial_t B = 0$ sind direkte Folgen der Definition $F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$ , denn daraus folgt das $\partial_\sigma \epsilon^{\sigma\rho\mu\nu}F_{\mu\nu} = 0$ . $\sigma = 0$ gibt $\nabla\cdot B = 0$ Und $\sigma = i$ gibt dem $i$ -te Komponente von $\nabla\times E + \partial_t B = 0$ .

Du hast absolut recht! Ich habe bei meinen Berechnungen den lateinischen Index der elektromagnetischen Tensoren ignoriert. Und deine Erklärung war einwandfrei! Danke!

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GaloisFan

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ACuriousMind

GaloisFan

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