Hamiltonscher Formalismus des massiven Vektorfeldes

Question

Hamiltonscher Formalismus des massiven Vektorfeldes

Moeman

Ich arbeite gerade an einem Problem bezüglich des massiven Vektorfeldes. Unter anderem habe ich bereits die Bewegungsgleichungen aus der Lagrange-Dichte berechnet

L = - \frac{1}{4} F_{μ v} F^{μ v} + \frac{1}{2} M^{2} A^{μ} A_{μ},

$\mathcal{L} = - \frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} + \frac{1}{2} m^2 A^\mu A_\mu,$ Wo

F_{μ ν} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}

$F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$ , welche sind

\begin{aligned} \partial_{μ} F^{μ v} + M^{2} A^{v} = 0. \end{aligned}

$\begin{align} \partial_\mu F^{\mu\nu} + m^2 A^\nu = 0. \end{align}$ Hier gilt die Vorzeichenkonvention

(+, -, -, -)

$(+,-,-,-)$ .

Das Problem führt mich dann durch einige Berechnungen, um bei einem Hamilton-Operator zu landen. Grundsätzlich definiert man den kanonischen Impuls und aus den Bewegungsgleichungen folgt das $A^0 = \frac{1}{m^2} \partial_i \Pi_i$ (wobei ab hier die Summationskonvention für wiederholte Indizes unabhängig von ihrer Position verwendet wird). Im Grunde bedeutet dies das $A^0$ ist keine dynamische Variable und kann hinsichtlich eliminiert werden $\Pi_i$ . Indem Sie dies und die Tatsache verwenden, dass $\Pi_i (x) = \partial_0 A^i (x) + \partial_i A^0 (x)$ , findet man den folgenden Hamiltonoperator:

\begin{aligned} H = \int D^{3} \vec{X} H = \int D^{3} \vec{X} (\frac{1}{2} Π_{ich} Π_{ich} + \frac{1}{2 M^{2}} \partial_{ich} Π_{ich} \partial_{J} Π_{J} + \frac{1}{2} \partial_{ich} A^{J} (\partial_{ich} A^{J} - \partial_{J} A^{ich}) + \frac{M^{2}}{2} A^{ich} A^{ich}) . \end{aligned}

$\begin{align} H = \int d^3 \vec{x}\; \mathcal{H} = \int d^3 \vec{x}\; \left(\frac{1}{2} \Pi_i \Pi_i + \frac{1}{2m^2} \partial _ i \Pi_i \partial _j\Pi_j + \frac{1}{2} \partial_i A^j (\partial_i A^j - \partial_j A^i ) + \frac{m^2}{2} A^i A^i \right). \end{align}$

Lange Rede kurzer Sinn: Daraus soll ich jetzt die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen berechnen und zeigen, dass sie zu den gleichen führen, die ich aus der Lagrange-Funktion bekommen habe.

Nun ist mir nicht klar, welche Form die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen hier haben sollen. Die Art und Weise, wie sie auf Wikipedia ( https://en.wikipedia.org/wiki/Hamiltonian_field_theory ) geschrieben sind , mit nur den Zeitableitungen auf der linken Seite, führt nicht zu denselben Bewegungsgleichungen, oder?

EDIT: Dank der Antwort von GRrocks glaube ich, ich habe es jetzt verstanden.

\begin{aligned} - \partial_{0} Π^{k} & = - \partial_{0} (\partial_{0} A^{k} + \partial_{k} A^{0}) = \frac{δ H}{δ A^{k}} = \\ = M^{2} A^{k} - \frac{1}{2} \partial_{ich} \partial_{ich} A^{k} - \frac{1}{2} \partial_{ich} \partial_{ich} A^{k} + \frac{1}{2} \partial_{J} \partial_{k} A^{J} - \frac{1}{2} \partial_{J} \partial_{k} A^{J} = \\ = M^{2} A^{k} - \partial_{ich} \partial_{ich} A^{k} + \partial_{J} \partial_{k} A^{J} \end{aligned}

$\begin{align} -\partial_0 \Pi^k & = - \partial_0 \left(\partial_0 A^k + \partial_k A^0 \right) =\frac{\delta \mathcal{H}}{\delta A^k} = \\ &= m^2 A^k - \frac{1}{2} \partial_i \partial_i A^k - \frac{1}{2}\partial_i \partial_i A^k + \frac{1}{2} \partial_j\partial_k A^j - \frac{1}{2} \partial_j\partial_k A^j = \\ &= m^2 A^k - \partial_i \partial_i A^k + \partial_j\partial_k A^j \end{align}$ und so

\begin{aligned} \partial_{0} \partial_{0} A^{k} - \partial_{ich} \partial_{ich} A^{k} + M^{2} A^{k} + \partial_{0} \partial_{k} A^{0} + \partial_{ich} \partial_{k} A^{ich} = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \partial_0 \partial_0 A^k - \partial_i \partial_i A^k + m^2 A^k + \partial_0 \partial_k A^0 + \partial_i \partial_k A^i = 0 \end{align}$ was in der Tat den Lagrangeschen Bewegungsgleichungen entspricht. Meine Frage ist jetzt, was die Gleichungen

\partial_{0} A^{i} = \frac{δ H}{δ Π_{i}}

$\partial_0 A ^i = \frac{\delta \mathcal{H}}{\delta \Pi_i}$ sind, wenn ich schon die vollständigen Lagrange-Bewegungsgleichungen mitbekomme

- \partial_{0} Π^{k} = \frac{δ H}{δ A^{k}}

$-\partial_0 \Pi^k =\frac{\delta \mathcal{H}}{\delta A^k}$ . Was vermisse ich?

Antworten (2)

Hamiltonscher Formalismus des massiven Vektorfeldes

GRrocks · Answer 1

Hinweis: Hamiltons Bewegungsgleichungen sind hier genau dieselben wie in der klassischen Mechanik, wobei gewöhnliche Ableitungen durch funktionale Ableitungen ersetzt werden.

Dies liegt daran, dass im Allgemeinen der Hamilton-Operator (nicht die Hamilton-Dichte) $H(t)=H[\psi(\cdot,t),\dot{\psi}(\cdot,t)]$ ist eine Funktion der Felder und konjugierten Impulse in einem bestimmten Zeitabschnitt, und in diesem Zeitabschnitt gehorchen die Felder und Impulse der Poisson-Klammer(sprich: Kommutator)-Beziehung, die aus der klassischen Mechanik bekannt ist (wobei die $H=H(q,p)$ ist nur eine Funktion ). Diese Koordinaten $q,p$ werden zu Feldern in der QFT befördert, und somit werden Derivate bezüglich dieser zu funktionalen Derivaten.

Nehmen Sie also einfach die funktionalen Ableitungen des Hamilton-Operators, den Sie aufgeschrieben haben, und setzen Sie sie in die funktionale Ableitungsversion der klassischen Gleichungen ( $\partial H/\partial p=\dot{q}$ usw)

So sollte es im Grunde sein $\partial_0 A^i = \frac{\delta \mathcal{H}}{\delta \Pi_i} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \Pi_i } - \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial(\partial_\mu \Pi_i)} \right)$ für das erste, habe ich recht?

QMechaniker · Answer 2

Es besteht keine Notwendigkeit, die zu beseitigen $A_0$ Feld $^1$ . Kurz gesagt, die Hamiltonsche Lagrange-Dichte $^2$

\begin{matrix} (1) & \begin{array}{ccc} L_{H} = \vec{Π} \cdot \dot{\vec{A}} - H & \overset{\vec{Π}}{⟶} & L = - \frac{1}{4} F_{μ v} F^{μ v} - \frac{1}{2} M^{2} A_{μ} A^{μ} \\ ↓ A_{0} & ↓ A_{0} \\ L_{H}^{R} = \vec{Π} \cdot \dot{\vec{A}} - H^{R} & \overset{\vec{Π}}{⟶} & L^{R} = \frac{1}{2} {\dot{A}}_{ich} (δ^{ich J} + \frac{\partial^{ich} \partial^{J}}{M^{2} - \nabla^{2}}) {\dot{A}}_{J} - \frac{1}{2} {\vec{B}}^{2} - \frac{1}{2} M^{2} {\vec{A}}^{2} \end{array} \end{matrix}

$\begin{array}{ccc} {\cal L}_H~=~\vec{\Pi}\cdot\dot{\vec{A}} - {\cal H}&\stackrel{\vec{\Pi}}{\longrightarrow} & {\cal L}~=~-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\frac{1}{2}m^2 A_{\mu}A^{\mu} \cr\cr \downarrow A_0& &\downarrow A_0\cr\cr {\cal L}^R_H~=~\vec{\Pi}\cdot\dot{\vec{A}} - {\cal H}^R&\stackrel{\vec{\Pi}}{\longrightarrow} & {\cal L}^R~=~\frac{1}{2}\dot{A}_i\left(\delta^{ij}+\frac{\partial^i \partial^j}{m^2-\nabla^2} \right)\dot{A}_j-\frac{1}{2}\vec{B}^2-\frac{1}{2}m^2\vec{A}^2 \end{array} \tag{1}$ denn die echte Proca-Theorie reduziert sich auf ihr Lagrange-Gegenstück (bis zu totalen Ableitungstermen), wenn man die Impulse herausintegriert/eliminiert

\vec{Π}

$\vec{\Pi}$ . Daher müssen die Hamilton- und Lagrange-EOMs auch nach Eliminierung von übereinstimmen

A_{0}

$A_0$ Feld. Außerdem pendelt das Diagramm (1) , da die Reihenfolge der Eliminierung keine Rolle spielen sollte. In Gl. (1) die Hamiltonsche Dichte ist

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} H = & \frac{1}{2} {\vec{Π}}^{2} + \frac{1}{2} {\vec{B}}^{2} + \frac{1}{2} M^{2} A_{μ} A^{μ} - A_{0} \vec{\nabla} \cdot \vec{Π} \\ ↓ A_{0} \\ H^{R} = & \frac{1}{2} Π^{ich} (δ_{ich J} - \frac{\partial_{ich} \partial_{J}}{M^{2}}) Π^{J} + \frac{1}{2} {\vec{B}}^{2} + \frac{1}{2} M^{2} {\vec{A}}^{2}, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} {\cal H}~=~&\frac{1}{2}\vec{\Pi}^2 +\frac{1}{2}\vec{B}^2+\frac{1}{2}m^2 A_{\mu}A^{\mu}-A_0 \vec{\nabla}\cdot\vec{\Pi} \cr\cr &\downarrow A_0\cr\cr {\cal H}^R~=~&\frac{1}{2}\Pi^i\left(\delta_{ij}-\frac{\partial_i \partial_j}{m^2} \right)\Pi^j +\frac{1}{2}\vec{B}^2+\frac{1}{2}m^2 \vec{A}^2,\end{align}\tag{2}$ und das Magnetfeld ist

\begin{matrix} (3) & B_{ich} = \frac{1}{2} ϵ_{ich J k} F_{J k}, {\vec{B}}^{2} = \frac{1}{2} F_{ich J} F_{ich J} . \end{matrix}

$B_i~=~\frac{1}{2}\epsilon_{ijk}F_{jk}, \qquad \vec{B}^2~=~\frac{1}{2}F_{ij}F_{ij} . \tag{3}$

--

$^1$ Integriert man aus/eliminiert $A_0$ , wäre man nicht mehr in der Lage sein EOM abzuleiten

\begin{matrix} (4) & A_{0} \approx - \frac{1}{M^{2}} \vec{\nabla} \cdot \vec{Π} . \end{matrix}

$A_0~\approx~-\frac{1}{m^2}\vec{\nabla}\cdot\vec{\Pi} .\tag{4}$

$^2$ NB. Diese Antwort verwendet die entgegengesetzte Vorzeichenkonvention $(-,+,+,+)$ sodass die Position räumlicher Indizes keine Rolle spielt.

Ich habe nicht gesagt, dass es notwendig ist, das Problem will nur, dass ich es tue. Ich bin sicher, dass der EOM im Hamilton- und Lagrange-Formalismus zustimmen muss, aber wir wollen das beweisen (und ich glaube, das habe ich in meiner Bearbeitung getan). Könntest du dir das vielleicht mal anschauen und meine Anschlussfrage dort beantworten?

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