Berechnung des Lagrange-Operators aus dem Hamilton-Operator 12(−i∂ϕ−A)212(−i∂ϕ−A)2\frac{1}{2}(-i\partial_\phi -A)^2

Question

Berechnung des Lagrange-Operators aus dem Hamilton-Operator 12(−i∂ϕ−A)212(−i∂ϕ−A)2\frac{1}{2}(-i\partial_\phi -A)^2

verjüngen

Der Hamiltonoperator für Teilchen auf einem Ring soll lauten (Gl. 9.1 von Altland2010a Condensed Matter Field Theory , S. 498):

\begin{matrix} (9.1) & H = \frac{1}{2} (- ich \partial_{ϕ} - A)^{2} = \frac{1}{2} (P - A)^{2} . \end{matrix}

$\begin{equation} H = \frac{1}{2}(-i\partial_\phi -A)^2 = \frac{1}{2}(p-A)^2.\tag{9.1} \end{equation}$

Das behauptet das Buch

\begin{matrix} (9.4) & L = \frac{1}{2} {\dot{ϕ}}^{2} - ich A \dot{ϕ} \end{matrix}

$\begin{equation} L = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 - iA \dot{\phi}\tag{9.4} \end{equation}$ Ich bin ziemlich verwirrt, vor allem über das Aussehen

\dot{ϕ}

$\dot{\phi}$ . Kann jemand ein bisschen erklären?

Was ich versucht habe:

Da die Umkehrung einer Legendre-Transformation die Legendre-Transformation selbst ist,

\begin{aligned} Bezeichnen X & \equiv \frac{\partial H}{\partial P} = P - A, So, \\ P & = X + A, H = \frac{1}{2} X^{2}, So, \\ L = X P - H & = X (X + A) - \frac{1}{2} X^{2} = \frac{1}{2} X^{2} + X A \end{aligned}

$\begin{align} \text{Denote }x &\equiv \frac{\partial H}{\partial p} = p-A,\text{ so,} \\ p &= x + A,\quad H = \frac{1}{2}x^2 ,\text{ so,}\\ L = x p - H &= x(x+A) - \frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2}x^2 + x A \end{align}$ Meine Berechnung ergab also, dass der Lagrange-Operator des obigen Hamilton-Operators ist:

L = \frac{1}{2} X^{2} + X A

$\begin{equation} L = \frac{1}{2}x^2 + x A \end{equation}$ Wo

X = \frac{\partial H}{\partial P}

$\begin{equation} x = \frac{\partial H}{\partial p} \end{equation}$

ACuriousMind

...warum rufst du die zugeordnete Legendre-transformierte Variable auf

p

$p$

x

$x$ und nicht

\dot{ϕ}

$\dot{\phi}$ ?

verjüngen

@ACuriousMind Richtig, ich bin mit Feldtheorien nicht vertraut, also wähle ich einfach

x

$x$ aus Bequemlichkeit. Aber selbst als ich versuchte, meine Antwort mit der im Buch zu vergleichen, kann ich den von Legendre transformierten konsistenten Begriff nicht wählen.

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Berechnung des Lagrange-Operators aus dem Hamilton-Operator 12(−i∂ϕ−A)212(−i∂ϕ−A)2\frac{1}{2}(-i\partial_\phi -A)^2

...warum rufst du die zugeordnete Legendre-transformierte Variable auf $p$ $x$ und nicht $\dot{\phi}$ ?
@ACuriousMind Richtig, ich bin mit Feldtheorien nicht vertraut, also wähle ich einfach $x$ aus Bequemlichkeit. Aber selbst als ich versuchte, meine Antwort mit der im Buch zu vergleichen, kann ich den von Legendre transformierten konsistenten Begriff nicht wählen.

QMechaniker · Answer 1

Wir beginnen mit dem Lagrangian
$L_{M} = \frac{M}{2} {(\frac{D \vec{R}}{D T_{M}})}^{2} + Q \vec{A} \cdot \frac{D \vec{R}}{D T_{M}} - Q ϕ_{M},$ $L_M~=~\frac{m}{2}\left(\frac{d\vec{r}}{dt_M}\right)^2 + q \vec{A}\cdot\frac{d\vec{r}}{dt_M}-q\phi_M,$ für ein nicht-relativistisches Punktteilchen im Minkowski-Raum mit E&M-Hintergrund. Diese Lagrangefunktion erscheint in der Pfadintegralformulierung von QM.
Wir können eine Legendre-Transformation durchführen . Das Minkowskische Momentum ist
${\vec{P}}_{M} = M \frac{D \vec{R}}{D T_{M}} + Q \vec{A},$ $\vec{p}_M~=~ m\frac{d\vec{r}}{dt_M}+q\vec{A},$ so ist der Minkowski-Hamilton-Operator $H_{M} = \frac{({\vec{P}}_{M} - Q \vec{A})^{2}}{2 M} + Q ϕ_{M} .$ $H_M~=~ \frac{(\vec{p}_M-q\vec{A})^2}{2m}+q\phi_M.$ Dieser Hamilton-Operator erscheint im Boltzmann-Faktor der Zustandssumme in der statistischen Physik.
Der entsprechende Hamilton-Operator in der Schrödinger-Darstellung lautet
$\begin{matrix} (9.1) & {\hat{H}}_{M} = \frac{(\frac{ℏ}{ich} \vec{\nabla} - Q \vec{A})^{2}}{2 M} + Q ϕ_{M} . \end{matrix}$ $\hat{H}_M~=~ \frac{(\frac{\hbar}{i}\vec{\nabla}-q\vec{A})^2}{2m}+q\phi_M. \tag{9.1}$
Wir können auch eine Dochtrotation zum euklidischen Lagrange durchführen
$\begin{matrix} (9.4) & L_{E} = \frac{M}{2} {(\frac{D \vec{R}}{D T_{E}})}^{2} - ich Q \vec{A} \cdot \frac{D \vec{R}}{D T_{E}} - ich Q ϕ_{E}, \end{matrix}$ $L_E~=~\frac{m}{2}\left(\frac{d\vec{r}}{dt_E}\right)^2 -i q \vec{A}\cdot\frac{d\vec{r}}{dt_E}-iq\phi_E, \tag{9.4}$ Befolgen Sie die Regeln, die zB in diesem Phys.SE-Beitrag festgelegt sind .
Lassen Sie uns zum Spaß eine Legendre-Transformation der euklidischen Formulierung durchführen. Der euklidische Impuls ist
${\vec{P}}_{E} = M \frac{D \vec{R}}{D T_{E}} - ich Q \vec{A},$ $\vec{p}_E~=~ m\frac{d\vec{r}}{dt_E}-iq\vec{A},$ so ist der euklidische Hamiltonoperator $H_{E} = \frac{({\vec{P}}_{E} + ich Q \vec{A})^{2}}{2 M} + ich Q ϕ_{E} .$ $H_E~=~ \frac{(\vec{p}_E+iq\vec{A})^2}{2m}+iq\phi_E.$

lalala · Answer 2

Die Legendre-Transformation wird in der Frage fast korrekt durchgeführt. $x$ sollte durch ersetzt werden $\dot{\phi}$ . Das Buch fragt nach dem Lagrange-Operator im imaginären Zeitpfad-Integral, abgeleitet vom Hamilton-Operator. Das kann unterschiedlich sein. (Obwohl im Buch angedeutet wird, dass dies von Legendre Transform durchgeführt werden kann, glaube ich, dass dies subtiler ist).

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