Was ist die Lagrangedichte für die Pauli-Gleichung?

Der Pauli-Hamiltonian ist

H = 1 2 M ( σ ⋅ ( P − Q A ) ) 2 + Q ϕ

Für die 1-Komponenten-Schrödinger-Gleichung ohne angelegtes Feld haben wir die Lagrange-Funktion

L = ich ℏ ψ ∗ ψ ˙ − ℏ 2 2 M ( ∇ ψ ∗ ⋅ ∇ ψ ) − ψ ∗ v ψ
Was ist das 2-Komponenten-Analogon davon, das dem Pauli-Hamilton-Operator entspricht?

Das ist eine gute Frage. Als erstes würde ich den gesamten Pauli-Hamiltonian mit kartesischen Tensorkomponenten schreiben. Versuchen Sie dann, die Sigma-Matrizen in nichtkovariante Schreibweise (dh wieder mit kartesischer Tensornotation) in den Wechselwirkungsterm Partikel-em-Feld einzupassen.

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Nun, es ist eine einfache Transkription, wenn Sie die Sprache schätzen.

Für das (klassische) 1-Komponenten-Schrödinger-Feld ohne angelegte externe EM-Felder ist die Lagrange-Dichte tatsächlich

L = ich ℏ ψ ∗ ψ ˙ − 1 2 M ( ψ ∗ P 2 ψ ) − ψ ∗ v ψ     ;
(Ich habe Ihren Ausdruck integriert, teilweise korrigiert und ersetzt P = − ich ℏ ∇ .)

Der übliche entartete kanonische Impuls für ψ ist aber Π ψ = ich ℏ ψ ∗ , wodurch der zeitliche Ableitungsterm in der Legendre-Transformation in den Hamiltonian eliminiert wird, da ψ ∗ Π ψ − ich ℏ ψ ∗ ∂ T ψ = 0 .

Die resultierende Feld-Hamilton-Dichte ist dann ebenfalls trivial,

H = ψ ∗ ( 1 2 M P 2 + v ) ψ ,
Sie erhalten den Standard-Schrödinger-Hamilton.

Um zu Paulis zu verallgemeinern, fördern Sie die Wellenfelder / Funktionen zu Zwei-Spinoren, fügen Sie die erforderlichen Vektorpotentiale (im nicht quantisierten klassischen Potentialteil) ein, und Sie haben

L = ich ℏ ψ † ⋅ ψ ˙ − ψ † ⋅ ( 1 2 M ( σ ⋅ ( P − Q A ) ) 2 + Q ϕ ) ψ .
Erinnern Sie sich, dass die Pauli-Matrizen hermitesch sind. Die Handlung ist das Raum-Zeit-Integral davon.

Auch hier ergibt die Variation bezüglich der klassischen Zwei-Spinor-Felder/Variablen (wie q s und p s der klassischen Mechanik) die entsprechende Schrödinger/Pauli-Gleichung.

Was ist die Lagrangedichte für die Pauli-Gleichung?
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