Hamiltonian für ein Teilchen mit Zentralkraft

Ich werde gebeten, eine detaillierte Hamilton-Funktion für ein Teilchen zu schreiben, das sich in einem zentralen Potential unter Verwendung von Kugelkoordinaten bewegt. Es fühlt sich an, als hätte ich es richtig gemacht, aber ich bin mir nicht sicher, ob es "detailliert" genug ist. Kann das bitte jemand überprüfen? Mein Fortschritt:

Lagrange:

$$L = T - V = \frac m {2}(\dot{r^2} + r^2 \dot{\theta^2} + r sin^2(\theta) \dot\phi^2) - V(r)$$ Verallgemeinerte Impulse: $$p_r = m \dot{r}$$ $$p_\theta = m r^2 \dot{\theta}$$ $$p_\phi = m r^2 sin^2(\theta) \dot{\phi}$$ Und der Hamiltonoperator ist: $$H = \frac 1 {2m}(p_r^2 + \frac {p_\theta^2} {r^2}+ \frac {p_\phi^2} {sin^2(\theta) r^2})+V(r)$$

Das Hauptanliegen ist das Potenzial, da es zentral ist, hängt es nur von r ab, und da es nicht gegeben ist, nehme ich an, dass es nur V (r) ist, ist es richtig?