Ableitung kinetischer Energie in Zylinderkoordinatenbeschränkungen

Ein Ansatz besteht darin, von zu beginnen$T=\frac12 m[\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2]$und verwenden$x=\rho\cos\theta$,$y=\rho\sin\theta$damit bspw$\dot{x}=\dot{\rho}\cos\theta-\rho\dot{\theta}\sin\theta$. Begriffe kombinieren und vereinfachen.

Oder für den ebenen polaren Teil mit$\frac{d\hat{\boldsymbol{\rho}}}{dt} =\dot{\theta}\hat{\boldsymbol{\theta}}$(Beachten Sie die Änderung in$\hat{\boldsymbol{\rho}}$mit klein$dt$und vergleiche mit der Änderung in$\theta$), wir haben$\dot{\boldsymbol{\rho}}=\dot{\rho}\hat{\boldsymbol{\rho}}+\rho \frac{d\hat{\boldsymbol{\rho}}}{dt} =\dot{\rho}\hat{\boldsymbol{\rho}}+\rho \dot{\theta}\hat{\boldsymbol{\theta}}$und verwenden Sie die Orthogonalität von$\hat{\boldsymbol{\rho}}$Und$\hat{\boldsymbol{\theta}}$nach dem quadrieren.

Eine Alternative ist die Verwendung$T=\frac12 m \left(\frac{ds}{dt}\right)^2 = \frac12 m g_{ij}\dot{q}^i \dot{q}^j$wo die Metrik$g_{ij}$ist diagonal mit$g_{\rho\rho}=g_{zz}=1$Und$g_{\theta\theta}=\rho^2$.