Wie transformiert sich die Poisson-Klammer, wenn wir die Koordinaten ändern?

Ich studiere das Buch Geometric Mechanics von Darryl D. Holm und es gibt eine Übung in dem Buch, bei der ich nicht ganz verstehe, was zu tun ist. Dieselbe Diskussion, die der Autor in dem Buch führt, findet auf Seite 7 dieser Lösungen zu einigen von ihm bereitgestellten Übungen statt. Diese Übung wird dort jedoch nicht behandelt.

Der Punkt ist, dass er eine Art Possion-Klammer folgendermaßen definiert:

Für reibungslose Funktionen$F,H\in C^\infty(\mathbb{R}^3)$von Koordinaten$\mathbf{X}\in \mathbb{R}^3$mit Volumenelement$d^3X$, die Nambu-Klammer $\{F,H\}$definiert von

$$-dC\wedge dF\wedge dH = \{F,H\}d^3X$$

ist eine Poisson-Klammer für eine beliebige Auswahl an ausgezeichneter glatter Funktion$C: \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$.

Wenn ich also die Definition verstanden habe, wählen wir eine Funktion aus$C$eine herausragende Funktion sein, das heißt,$C$wird mit jeder anderen Funktion und dann mit der Klammer comute$\{F,H\}$im Koordinatensystem$(X_1,X_2,X_3)$erhält man durch Ausdrücken$-dC\wedge dF\wedge dH$bezüglich$d^3X$. Seit$-dC\wedge dF\wedge dH$ist ein Vielfaches von$d^3X$legen wir fest$\{F,H\}$dieser Skalar zu sein.

Danach wendet er dies auf die geometrische Optik an. Berücksichtigung kartesischer Koordinaten$(Y_1,Y_2,Y_3)$der autor tut folgendes: er betrachtet die distinguierte funktion$S^2 = Y_1^2-Y_2^2-Y_3^2$(was hier als Schiefe bekannt ist) und er führt das Koordinatensystem ein

$$Y_1^2 = S\cosh u, \quad Y_2= S\sinh u \cosh \psi, \quad Y_3 = S\sinh u \sinh \psi.$$

Damit stellt er die Gleichheit vor

$$\{F,H\}dY_1 \wedge dY_2\wedge dY_3 = -\{F,H\}_{\mathrm{Hyperb}}S^2 dS\wedge d\psi \wedge d \cosh u$$

und er fragt folgendes

Überprüfen Sie, ob die obige Gleichung transformiert$\mathbb{R}^3$Klammer von kartesischen zu hyperbolischen Koordinaten, indem Sie die Definitionen von verwenden$Y_1,Y_2,Y_3$bezüglich$S,\psi,u$.

Ich glaube, ich habe nicht verstanden, was zu tun ist. Tatsächlich habe ich das Volumenelement transformiert$dY_1\wedge dY_2\wedge dY_3$damit wir haben

$$dY_1\wedge dY_2\wedge dY_3 = -S^2\sinh u dS\wedge d\psi \wedge du,$$

also haben wir

$$\{F,H\} dY_1\wedge dY_2\wedge dY_3 =-\{F,H\} S^2 dS\wedge d\psi \wedge d\cosh u,$$

Beachten Sie jedoch, dass per Definition der Klammer die$\{F,H\}$term ist nur die Klammer in kartesischen Koordinaten. Auf der rechten Seite erscheint dann keine$\{F,H\}_{\mathrm{Hyperb}}$sondern das gleiche$\{F,H\}$was auf der anderen Seite war.

Wenn wir andererseits einfach die Definition mit hyperbolischen Koordinaten anwenden, erhalten wir

$$-dS^2\wedge dF\wedge dH = \left(-2S\dfrac{\partial F}{\partial \psi}\dfrac{\partial H}{\partial u}+2S\dfrac{\partial F}{\partial u}\dfrac{\partial H}{\partial \psi}\right)dS\wedge d\psi\wedge du,$$

damit am Ende die Klammer in diesen Koordinaten wäre

$$\{F,H\}_{\mathrm{Hyperb}}=\left(-2S\dfrac{\partial F}{\partial \psi}\dfrac{\partial H}{\partial u}+2S\dfrac{\partial F}{\partial u}\dfrac{\partial H}{\partial \psi}\right).$$

Was passiert in diesem Fall hier? Ich glaube, ich habe nicht verstanden, was der Autor will. Was ist hier wirklich zu tun?

Mein Punkt hier ist, dass ich einfach die Differentiale transformiere und mit dem Ausdruck vergleiche, der in dem Buch gefunden wird, das ich am Ende bekomme$\{F,H\} = \{F,H\}_{\mathrm{Hyperb}}$was meiner meinung nach nicht stimmt. Was muss hier also noch getan werden?

Wie zeigt nur die Transformation der Differentiale und die Verwendung der Definition von hyperbolischen Koordinaten in kartesischen Koordinaten die Transformation zwischen den Klammern?