Poisson-Klammern und kanonische Koordinaten für eingeschränkte Systeme

Lassen Sie uns einen Hamilton-Operator haben, der die Reihe erstklassiger Einschränkungen beinhaltet φ und eine Reihe von Einschränkungen κ , die für kanonisch konjugierte Impulse eine Rolle spielen φ ,. Sie haben die Bedingungen eingehalten ( [ A , B ] P ist die Poisson-Klammer)

(1) D e T [ φ ich , κ J ] P ≠ 0 , [ κ ich , κ J ] P = 0 , [ φ ich , φ J ] P = ∑ k D ich J k φ k
(im starken Sinne). Es gibt auch die Aussage, dass für eine beobachtete Funktion F ( Q , P )
(2) [ F A , φ B ] = ∑ C ich A B φ ich .
Ohne Einschränkungen haben wir N Paare unabhängiger kanonischer Koordinaten ( Q , P ) , aber Einschränkungen reduzieren es auf N − k . Nehmen wir die kanonische Poisson-Klammer an,
(3) [ A , B ] P = ∑ ( ∂ A ∂ Q ich ∂ B ∂ P ich − ∂ B ∂ Q ich ∂ A ∂ P ich ) .
Es gibt eine Aussage, dass, wenn wir den neuen Satz von Koordinaten einführen, ( Q , P ) → η = ( φ , Q , P ich , P ) , Wo κ J = P J (Hier Q , P die Menge der kanonischen Koordinaten ist, die nach dem Lösen der Nebenbedingungsgleichungen unabhängig bleiben), dann gibt es die Aussage, dass ( 3 ) kann geschrieben werden als
(4) [ A , B ] P = ∑ η [ η ich , η J ] P ∂ A ∂ η ich ∂ B ∂ η J = ∑ Q , P ( ∂ A ∂ Q ich ∂ B ∂ P ich − ∂ A ∂ P ich ∂ B ∂ Q ich ) .
So beweisen Sie die letzte Identität in ( 4 ) durch die Nutzung ( 1 ) , ( 2 ) ?

Antworten (1)

Wir interpretieren die Frage von OP so, dass sie im Wesentlichen Folgendes stellt. (Wenn dies nicht das ist, wonach OP fragt, erwarten wir zumindest, dass die Beweismethode sehr ähnlich ist.)

Gegeben

(1) det { φ ich , κ J } P B ≠ 0 , { κ ich , κ J } P B   =   0 , { φ ich , φ J } P B   =   ∑ k D ich J k φ k ,
im starken Sinne, wo D ich J k glatte Koeffizientenfunktionen sind, gibt es eine Reihe von Einschränkungen φ ~ ich gleichbedeutend mit dem Satz von Beschränkungen φ ich , so dass der Satz von Koordinaten ( φ ~ ich , κ ich ) kann zu einem vollständigen Satz lokaler Darboux-Koordinaten im Phasenraum erweitert werden?

Hinweise:

  1. Die Aussage gilt nur in einer ausreichend kleinen Nachbarschaft. Außerdem gilt die Aussage nur, wenn wir den Nebenbedingungen adäquate Regularitätsbedingungen auferlegen, wie z. B. lineare Unabhängigkeit und konstante Ranganforderungen, vgl. zB Art.-Nr. 1.

  2. Diese Übung ist ein Spezialfall von Übung 1.22 in Lit. 1. Die Aussage kann als Verallgemeinerung des Satzes von Caratheodory-Jacobi-Lie angesehen werden , der wiederum eine Verallgemeinerung des Satzes von Darboux ist .

  3. Die Beweistechnik ist dem Beweis des Satzes von Darboux sehr ähnlich. Der κ ich Die Koordinaten sind bereits auf dem Darboux-Formular, also müssen wir nur die anderen Darboux-Koordinaten finden. Die Idee ist, den Aufspaltungssatz von Weinstein zu verwenden, um die lokale Existenz von Darboux-Koordinaten Schritt für Schritt festzustellen, siehe zB Lit. 3-4.

Verweise:

  1. M. Henneaux und C. Teitelboim, Quantisierung von Eichsystemen, 1994.

  2. DM Gitman und IV Tyutin, Quantisierung von Feldern mit Einschränkungen, 1990.

  3. A. Weinstein, Die lokale Struktur von Poisson-Mannigfaltigkeiten, J. Diff. Geom. 18 (1983) 523 ; Kapitel 2.

  4. Akhil Mathew, Poisson-Mannigfaltigkeiten und das Aufspaltungstheorem , Blogpost Dezember 2009.

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