Kanonische Transformation der Hamilton-Gleichung

Ich habe ein Problem, die Kriterien einer kanonischen Transformation zu verstehen. Ich bereite mich auf meine Prüfung vor und bin auf diese Frage gestoßen:

Wofür$A$,$B$,$C$,$D$Ist:$Q = A q^2+B p^2, \quad P = Cq^2+Dp^2$eine kanonische Transformation von$(q,p) \to (Q,P)$?

Ich weiß, dass es gelten muss:$\{Q,P\} = 1$

Meine Berechnung ergibt$AD-BC = \frac{1}{4}pq$. Aber jetzt frage ich mich, ob das reicht. Intuitiv denke ich, dass das Mapping weiter gelten sollte$(q,p) \to (Q,P)$ist invertierbar, was aufgrund der vier Lösungen nicht der Fall ist$q = \pm 2\sqrt{DQ-BP}$Und$p = \pm 2\sqrt{PA-QC}$.

Ich schaue gerade meine Vorlesungsunterlagen und die Bücher durch. Ich kann immer noch nichts darüber finden, ob die Transformation bijektiv sein muss, um eine kanonische Transformation zu sein.

Meine Frage: Welche Annahme(n) müssen$(q,p) \to (Q,P)$erfüllen, um eine kanonische Transformation zu sein.

EDIT: Ich habe mir gerade meine Berechnung angesehen. Ich habe einen dummen Fehler gemacht. Die Berechnung ergibt nicht:$AD-BC = \frac{1}{4}$es sollte sein

$$AD-BC = \frac{1}{4}pq$$ und daher kann diese Transformation nicht kanonisch sein. Ich habe es oben korrigiert. Dieser Fehler ließ mich jedoch nach den Annahmen für fragen $(q,p) \to (Q,P)$um kanonisch zu sein. Meine Antwort habe ich schließlich in dem Buch "Theoretische Physik" von W. Nolting bekommen. Es ist im Grunde dasselbe wie in der akzeptierten Antwort, Nolting liefert ferner einen klaren Beweis für Kriterien für kanonische Transformationen. Wer also die gleiche Frage hat wie ich, findet dort vielleicht eine Antwort.