Kann jeder Symplektomorphismus als kanonische Transformation bezeichnet werden?

Ich möchte nur sicherstellen, dass ich klar über kanonische Koordinaten und Transformationen in der Hamiltonschen Mechanik nachdenke.

Angenommen, wir haben ein Hamiltonsches System$(M, \omega, H)$- Wo$M$ist der Phasenraum ($\dim(M)=2n$, Obwohl$M$ist nicht unbedingt global ein Kotangensbündel),$\omega$ist die symplektische Struktur (nicht entartet, geschlossene 2-Form), und$H$ist eine Funktion an$M$dient als Hamiltonian. Nehmen wir nun an, wir haben zwei überlappende Koordinatendiagramme$\phi\colon U \rightarrow V \subset \mathbb{R}^{2n}$Und$\psi: U \rightarrow W \subset \mathbb{R}^{2n}$, für einige offen$U \subset M$. Die Koordinatentransformation$\psi\circ\phi^{-1}\colon V \rightarrow W$ist ein Symplektomorphismus, da es sich nur um die Identitätskarte handelt, die in verschiedenen Koordinaten ausgedrückt wird: genauer gesagt,$\psi\circ\phi^{-1}\colon (V, \phi_{*}\omega) \rightarrow (W, \psi_{*}\omega)$trivial befriedigt$\phi_{*}\omega = (\psi\circ\phi^{-1})^{*}\psi_{*}\omega$. Aber wir würden eine solche Koordinatentransformation nicht als kanonisch bezeichnen, es sei denn$\phi$Und$\psi$waren beides kanonische Koordinaten (oder Darboux-Karten), richtig? Ein definierendes Kriterium für kanonische Transformationen, das in Physiktexten oft angegeben wird, ist beispielsweise, dass die Jacobi-Matrix der Transformation eine symplektische Matrix ist, die sogenannte symplektische Bedingung. Hier,$(\psi\circ\phi^{-1})_{*}$ist nur dann eine symplektische Matrix, wenn beides gilt$\phi$Und$\psi$sind kanonische Koordinaten. Können wir also schlussfolgern, dass nicht alle Symplektomorphismen kanonische Transformationen sind?