Integrationskonstanten in der Hamilton-Jacobi-Theorie

Nun, die Logik ist wie folgt:

1. Die HJ-Gleichung ist eine nichtlineare PDE erster Ordnung in$n+1$Variablen$(q^1,\ldots q^n,t)$, die prinzipiell zB mit der Kennlinienmethode gelöst werden kann . Vollständig$^1$Lösung$S(q,\alpha,t)$hat$n$nicht trivial$^2$ Integrationskonstanten $\alpha=(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\in\mathbb{R}^n$.

2. Hamiltons Hauptfunktion$S(q,\alpha,t)$ist eine Typ-2-Erzeugungsfunktion für einen CT $(q,p,t)\to (Q,P,t)$, was (unter anderem) das impliziert

   $$p_i ~=~\frac{\partial S}{\partial q^i} ~=~\text{function of } (q,\alpha,t).\tag{1}$$

3. Vollständig$^1$Lösung hat per Definition

   $$\det\frac{\partial^2 S}{\partial q^i\alpha_j}~\neq~ 0, \tag{2}$$ so dass die Beziehung (1) prinzipiell auflösbar ist$\alpha$, die dann eine Funktion von wird$(q,p,t)$.

4. Die Integrationskonstanten$\alpha$werden als nächstes mit den neuen Impulsen identifiziert$P$.

5. Der Kamiltonier$K\equiv 0$verschwindet identisch, so dass die neuen Phasenraumvariablen$(Q,P)$sind Bewegungskonstanten , vgl. Kamiltons Gleichungen. Die Definition einer Bewegungskonstante in einem Hamilton-Kontext ist in meiner Phys.SE-Antwort hier angegeben .

Verweise:

1. H. Goldstein, Klassische Mechanik; Abschnitt 10.1 erste Fußnote.

2. LD Landau & EM Lifshitz, Mechanik, Bd. 1 (1976);$\S$47 Fußnote auf S. 148.

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$^1$Eine vollständige Lösung für eine PDE 1. Ordnung ist keine allgemeine Lösung [1,2], trotz des Namens!

$^2$Es gibt auch eine triviale Integrationskonstante$\alpha_0$mit einer Verschiebung verbunden$S\to S+\alpha_0$, die wir unterdrücken.