Trennbarkeit der Hamilton-Jacobi-Gleichung

Die Antwort auf Ihre Frage ist ja, die Existenz von$n$Erhaltungsmengen mit$n$Freiheitsgrade impliziert Trennbarkeit von HJ.

Die masselose HJ-Gleichung ist

$$g^{MN}\frac{\partial S}{\partial x^M}\frac{\partial S}{\partial x^N}=E.$$ Es trennt sich, wenn es einen neuen Satz von Koordinaten gibt $Y^M$so dass $$S(Y_1,...,Y_n)=\sum_{i=1}^n S_i(Y_i),$$ was die Existenz von impliziert $n$Erhaltungsgrößen, weil jeder Term in der HJ-Gleichung von seiner eigenen Variablen abhängt. Dasselbe Verfahren wird verwendet, wenn wir PDE lösen. Zum Beispiel im $2D$ $$S=S_x(x)+S_y(y), \quad f(x)(\partial_x S_x(x))^2+f(y)(\partial_y S_y(y))^2=E.$$ Letzteres bedeutet, dass beide Terme in LHS separat Konstanten sind. Wir haben also zwei unabhängige Erhaltungsgrößen.