Bewegungskonstanten vs. Bewegungsintegrale vs. erste Integrale

1) Eine Bewegungskonstante $f(z,t)$ist eine (global definierte, glatte) Funktion$f:M\times [t_i,t_f] \to \mathbb{R}$der dynamischen Variablen$z\in M$und Zeit$t\in[t_i,t_f]$, so dass die Karte

$$[t_i,t_f]~\ni ~t~~\mapsto~~f(\gamma(t),t)~\in~ \mathbb{R}$$ hängt nicht von der Zeit für jede Lösungskurve ab $z=\gamma(t)$zu den Bewegungsgleichungen des Systems.

Ein Bewegungsintegral/erstes Integral ist eine Bewegungskonstante$f(z)$das hängt nicht explizit von der Zeit ab.

2) Beschränken wir uns im Folgenden der Einfachheit halber auf den Fall, dass das System ein endlichdimensionales Autonomes ist$^1$Hamiltonsches System mit Hamiltonian$H:M \to \mathbb{R}$auf einen$2N$-dimensionale symplektische Mannigfaltigkeit$(M,\omega)$.

Ein solches System heißt (Liouville/vollständig) integrierbar , falls es existiert$N$funktional unabhängig$^2$, Poisson-kommutierende, global definierte Funktionen$I_1, \ldots, I_N: M\to \mathbb{R}$, so dass der Hamiltonoperator$H$ist eine Funktion von$I_1, \ldots, I_N$, nur.

Ein solches integrierbares System heißt maximal superintegrierbar , falls es noch weitere gibt$N-1$ global definierte Bewegungsintegrale$I_{N+1}, \ldots, I_{2N-1}: M\to \mathbb{R}$, so dass der kombinierte Satz$(I_{1}, \ldots, I_{2N-1})$ist funktional unabhängig.

Aus dem Satz von Caratheodory-Jacobi-Lie folgt , dass jedes endlichdimensionale autonome Hamiltonsche System auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit liegt$(M,\omega)$ist lokal maximal superintegrierbar in genügend kleinen lokalen Nachbarschaften um jeden Punkt von$M$(abgesehen von kritischen Punkten des Hamiltonoperators).

Der Hauptpunkt ist, dass ( globale ) Integrierbarkeit selten ist, während lokale Integrierbarkeit generisch ist.

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$^1$Ein autonomes Hamiltonsches System bedeutet, dass weder das Hamiltonsche$H$noch die symplektische Zweierform$\omega$hängen explizit von der Zeit ab$t$.

$^2$Außerhalb der Differentialgeometrie$N$Funktionen$I_1, \ldots, I_N$heißen funktional unabhängig , falls

$$\forall F:~~ \left[z\mapsto F(I_1(z), \ldots, I_N(z)) \text{ is the zero-function} \right]~~\Rightarrow~~ F \text{ is the zero-function}.$$ Innerhalb der Differentialgeometrie, die der herkömmliche Rahmen für dynamische Systeme ist, $N$Funktionen $I_1, \ldots, I_N$heißen funktional unabhängig , falls $\mathrm{d}I_1\wedge \ldots\wedge \mathrm{d}I_N\neq 0$verschwindet nirgendwo. Äquivalent dazu die rechteckige Matrix $$\left(\frac{\partial I_k}{\partial z^K}\right)_{1\leq k\leq N, 1\leq K\leq 2N}$$ hat maximalen Rang in allen Punkten $z$. Wenn nur $\mathrm{d}I_1\wedge \ldots\wedge \mathrm{d}I_N\neq 0$ae gilt , dann sollte man streng genommen die symplektische Mannigfaltigkeit abstreifen $M$dieser einzigartigen Bahnen.