Wenn ein System hat
Freiheitsgrade (DOF) und damit
unabhängig 1 Erhaltungsgrößen Integrale der Bewegung, können kontinuierliche Symmetrien mit insgesamt
Parameter gefunden werden, die diese Erhaltungsgrößen mit Hilfe des Satzes von Noether liefern ? Ich denke, das ist nicht genau das Gegenteil von Noethers Theorem, da ich nicht frage, ob für jede Erhaltungsgröße eine Symmetrie abgerufen werden kann, sondern nach einem Zusammenhang zwischen der gesamten Menge von Erhaltungsgrößen und Symmetrien.
1) bzw , oder , je nach Definition und Details, die hier irrelevant sind. Aber lassen Sie mich trotzdem darauf eingehen ... Ich betrachte die Anzahl der Freiheitsgrade als gleich der Anzahl der Anfangsbedingungen, die erforderlich sind, um ein System in der Klassischen Mechanik vollständig zu beschreiben. Das bedeutet, dass Geschwindigkeiten (oder Impulse) als einzelne DOFs betrachtet werden und nicht, dass jedes Paar aus Koordinaten + Geschwindigkeit nur einen DOF ausmacht. Die Zeit ist jedoch kein DOF, sondern ein Parameter . Bitte diskutieren Sie dies in dieser Frage, wenn Sie nicht einverstanden sind.
Es gibt bereits einige gute Antworten. Der Off-Shell-Aspekt im Zusammenhang mit dem Noether-Theorem wurde jedoch bisher nicht angesprochen. (Die Wörter on-shell und off-shell beziehen sich darauf, ob die Bewegungsgleichungen (eom) erfüllt sind oder nicht.) Lassen Sie uns das Problem wie folgt umformulieren.
Betrachten Sie ein (nicht unbedingt isoliertes) Hamiltonsches System mit Freiheitsgrade (dof). Der Phasenraum hat Koordinaten, die wir bezeichnen .
(Über das entsprechende Lagrange-Problem werden wir nichts sagen.)
Symplektische Struktur. Normalerweise arbeiten wir in Darboux-Koordinaten
, mit der kanonischen symplektischen Potentialeinform
Aktion. Die Hamilton-Aktion liest
Bewegungskonstanten. Die Lösung
Nun lass
sein unabhängige (lokal definierte) com, die wir oben argumentiert haben, muss existieren. Die Titelfrage von OP in dieser Formulierung lautet dann, ob es sie gibt Off-Shell-Symmetrien der (lokal definierten) Aktion , so dass die entsprechenden Noether-Ströme on-shell com sind?
Anmerkung. Es sollte betont werden, dass eine On-Shell-Symmetrie ein leerer Begriff ist, denn wenn wir die Aktion variieren und dann eom anwenden verschwindet per Definition (Modulo-Randterme), unabhängig davon, was die Variation ist besteht aus. Aus diesem Grund kürzen wir Off-Shell-Symmetrie oft einfach zu Symmetrie ab . Wenn wir dagegen von com sprechen, nehmen wir immer eom an
Änderung der Koordinaten. Seit der Aktion unter Änderung von Koordinaten unveränderlich ist, können wir einfach Koordinaten ändern zum com, und verwenden Sie die als Koordinaten (die wir einfach nennen von jetzt an). Dann sind die eom in diesen Koordinaten eben
Variation. Wir führen nun eine infinitesimale Variation durch ,
Die Antwort auf die Titelfrage von OP lautet also im Hamilton-Fall Ja .
Ja, das ist das Gegenteil von Noethers Theorem. Nennen wir also unsere Erhaltungsgröße (Wir betrachten zunächst nur eine konservierte Menge) und beginnen damit Gesetz zur Erhaltung. Aufgrund der Verbindung zwischen Poisson-Klammer mit Strömungen im Phasenraum sagt Ihnen dies beides = 0 ( bleibt in der Zeitentwicklung erhalten) und (Hamiltonian ist unter Symmetrie erhalten, die ein Grundfeld hat ) solange die den Funktionen zugeordneten Vektorfelder im Phasenraum liegen sind in gewissem Sinne nicht entartet. Beachten Sie das Anheben Operator wird offensichtlich unter Verwendung der inversen symplektischen Form definiert . Das bedeutet zB, dass echte Konstanten (die sicherlich auch Bewegungskonstanten sind) nicht funktionieren, weil und wir erhalten ein Vektorfeld von Null.
Andererseits können wir, solange alle Erhaltungsgrößen nicht entartet sind, die zugehörigen Symmetrieflüsse immer durch Integration der oben genannten Vektorfelder finden. Beachten Sie aber, dass wir am Ende Symmetrien des Phasenraums erhalten . Ob diese auch direkt mit einer gewissen Symmetrie des zugrunde liegenden Ortsraums verbunden sind (wenn es einen solchen Raum gibt, das heißt; im Allgemeinen muss es keinen geben, aber in üblichen Anwendungen nehmen wir den Phasenraum der Ortsmannigfaltigkeit). als Kotangensbündel ) ist eine Frage für weitere Untersuchungen. Ich werde mich später mal darum kümmern, wenn ich Zeit finde.
Ich beginne mit einigen terminologischen Feinheiten, die berücksichtigt werden müssen, wenn es um "Erhaltungsgrößen" oder "Bewegungsintegrale" geht.
Zunächst ist es wichtig anzugeben, von welchen Variablen die Mengen abhängen können. Auf dem Gebiet der Differentialgleichungen , der Hamiltonschen Dynamik und dynamischer Systeme hängt eine Erhaltungsgröße per Definition nicht explizit von der Zeit ab - es ist normalerweise eine Funktion, die auf einem Raum (einer Mannigfaltigkeit) definiert ist und den Zustand Ihres Systems vollständig beschreibt ( verwendet alle Freiheitsgrade, wie Sie sie definiert haben).
Eine andere zu berücksichtigende Sache: Es scheint möglich zu sein, eine Funktion einer Bewegungskonstante zu nehmen und somit zu einer anderen konstanten Größe zu gelangen, wodurch eine beliebige Menge an Bewegungskonstanten erzeugt wird. Es gibt also eine implizite Bedingung für funktionale Unabhängigkeit zwischen diesen Bewegungskonstanten. Was als das Verschwinden der Poisson-Klammern zwischen einem beliebigen Mengenpaar formuliert werden kann. Hier ist die Referenz dazu auf Wikipedia, auch ich habe vor einiger Zeit eine Frage dazu gestellt ...
Ich denke also, dass Ihre implizite Aussage:
Wenn ein System N Freiheitsgrade (DOF) und daher N konservierte unabhängige Größen hat
Ist nicht ganz richtig, wenn man berücksichtigt, was zum Begriff "Erhaltungsgröße" gesagt wurde.
In Bezug auf Ihre Frage zum Finden der Symmetrietransformation, die der Menge entspricht, habe ich das Problem in dieser Frage angesprochen .
Kurz gesagt - bei einem "Generator" und eine gewisse Menge . Die kleine Transformation, erzeugt durch ist:
Putten , und unter Hinweis darauf, wenn ist dann eine Bewegungskonstante . Man kommt sofort zu dem Schluss, dass die Transformation, erzeugt durch ist die Symmetrietransformation. (Einige Beispiele sind hier .)
Lieber Tobias, alles ist viel einfacher: Die Gleichungen sind Einschränkungen für mögliche Systembewegungen und liefern selbst Erhaltungsgrößen. Sie können diese Gleichungen "Constraints" oder "Symmetrieforderung" nennen, wenn Sie möchten, aber sie sind notwendige und hinreichende Bedingungen, um Erhaltungsgrößen (= Lösungen) zu haben.
Betrachten wir eine ODE: mit einigen Ausgangsdaten . Nachdem Sie diese Gleichung gelöst haben, erhalten Sie eine Lösung, die wie folgt in eine implizite Form umgewandelt werden kann: . Andererseits ist diese implizite Lösungsform ein Erhaltungssatz: Eine Kombination aus Problemvariable und Zeit ist nicht zeitabhängig.
Nun differenziere ich diese implizite Lösung und erhalte: . Es ist ein Ausdruck dafür, etwas zu konservieren, nicht wahr? Andererseits sollte sie mit der ursprünglichen Gleichung übereinstimmen oder ihr äquivalent sein . Jetzt verstehen Sie, dass Gleichungen notwendig und ausreichende Voraussetzungen sind, um Erhaltungsgrößen zu haben . Letztere sind weitgehend gleichbedeutend mit Lösungen .
BEARBEITEN: Es besteht keine Notwendigkeit in irgendeiner Symmetrie, konservierte Mengen zu haben. Nur Gleichungen. Symmetrien vereinfachen das Aussehen von Erhaltungsgrößen (Lösungen). Betrachten Sie eine 1D-Bewegung eines Partikels in einer zeitabhängigen externen Kraft. Die Energie und der Impuls sind nicht erhalten, aber es gibt immer noch zwei Erhaltungsgesetze.
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Tobias Kenzler
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