Ist die Umkehrung von Noethers erstem Theorem wahr: Jeder Erhaltungssatz hat eine Symmetrie?

I) Für eine mathematisch präzise Behandlung eines inversen Satzes von Noether sollte man zB Olvers Buch zu Rate ziehen (Ref. 1, Thm. 5.58), wie auch Benutzer orbifold in seiner Antwort (v2) schreibt. Hier möchten wir eine heuristische und weniger technische Diskussion führen, um den Kern der Sache zu vermitteln, und versuchen, die Sprache von Jets und Verlängerungen so weit wie möglich zu vermeiden.

Populär ausgedrückt möchten wir eine „inverse Noether-Maschine“ formulieren

Da diese "Maschine" ein mathematisches Theorem sein soll, das immer ausnahmslos erfolgreich sein sollte (sonst ist es per Definition kein Theorem!), müssen wir möglicherweise die Menge/Klasse/Kategorie von Eingaben einschränken, die wir in die Maschine zulassen um keine Stillstandsfehler/Ausfälle im Maschinenpark zu haben.

II) Machen wir der Einfachheit halber folgende unnötige Einschränkungen:

1. Konzentrieren wir uns auf die Punktmechanik mit einem lokalen Aktionsfunktional

   $$S[q] ~=~ \int\! dt~ L(q(t), \frac{dq(t)}{dt}, \ldots,\frac{d^Nq(t)}{dt^N} ;t), \tag{1}$$ wo$N\in\mathbb{N}_0$ist eine endliche Ordnung. Die Verallgemeinerung auf die klassische lokale Feldtheorie ist einfach.

2. Beschränken wir uns auf nur vertikale Transformationen$\delta q^i$, dh jede horizontale Transformation$\delta t=0$verschwindet. (Olver nennt diese im Wesentlichen evolutionäre Vektorfelder, und er erwähnt, dass es effektiv ausreicht, diese zu untersuchen (Ref. 1, Prop. 5.52).)

3. Nehmen wir an, wie es auch Olver tut, dass die Lagrangian$L$und die Transformationen sind echt analytisch$^{\dagger}$.

Folgende technische Einschränkungen/Erweiterungen sind zwingend erforderlich:

1. Der Begriff der Symmetrie$\delta S=0$sollte auf Quasisymmetrie (QS) entspannt werden. Per Definition eine QS der Aktion$S$muss nur Modulo-Randterme enthalten. (NB: Olver verwendet eine andere Terminologie: Er nennt eine Symmetrie für eine strenge Symmetrie und eine Quasisymmetrie für eine Symmetrie.)

2. Der Begriff der QS-Transformationen mag nur infinitesimal/als Vektorfeld/Lie-Algebra sinnvoll sein. Möglicherweise gibt es keine entsprechenden endlichen QS-Transformationen / Lie-Gruppen. Insbesondere dürfen die QS-Transformationen von den Geschwindigkeiten abhängen$\dot{q}$. (Olver bezeichnet dies als verallgemeinerte Vektorfelder (Ref. 1, Def. 5.1).)

III) Der Satz von Noether liefert ein kanonisches Rezept dafür, wie man eine QS der Aktion dreht$S$in ein Erhaltungsgesetz (CL),

wo$Q$ist die volle Noether-Ladung. (Hier die$\approx$Symbol bedeutet Gleichheit auf der Schale, dh Modulo der Bewegungsgleichungen (eom).)

Bemerkung 1: Abgesehen von der Zeit$t$, dürfen die QS-Transformationen nur auf die Variablen wirken$q^i$die sich aktiv am Handlungsprinzip beteiligen. Wenn es passive externe Parameter gibt, z. B. Kopplungskonstanten usw., sind die Tatsache, dass sie im Modell konstant sind, nur triviale CLs, die offensichtlich nicht als echte CLs gelten sollten. Im Speziellen,$\frac{d1}{dt}=0$ist nur eine triviale CL.

Bemerkung 2: Ein CL sollte per Definition für alle Lösungen gelten, nicht nur für eine bestimmte Lösung.

Bemerkung 3: Ein QS der Aktion$S$wird immer implizit davon ausgegangen, dass es sich um eine Off-Shell handelt. (Es sollte betont werden, dass ein On-Shell-QS der Aktion

ist ein leerer Begriff, da die Euler-Lagrange-Gleichungen jeden Massenterm auf der Schale entfernen.)

Bemerkung 4: Es sollte betont werden, dass eine Symmetrie von eoms nicht immer zu einer QS der Lagrangedichte führt, vgl. zB Art.-Nr. 2, Beispiel 1 unten und diesen Phys.SE-Beitrag. Daher ist es wichtig, die Off-Shell-Aspekte von Noethers Theorem zu verfolgen.

Beispiel 1: Eine Symmetrie der eoms ist nicht unbedingt eine QS der Lagrangedichte. Lass den Lagrange sein$L=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n \dot{q}^i g_{ij} \dot{q}^j$, wo$g_{ij}$ist eine konstante nicht entartete Metrik. Die Eome$\ddot{q}^i\approx 0$haben eine$gl(n,\mathbb{R})$Symmetrie$\delta q^{i}=\epsilon^i{}_j~q^{i}$, sondern nur ein$o(n,\mathbb{R})$Lie Subalgebra der$gl(n,\mathbb{R})$Lie-Algebra ist eine QS der Lagrange-Funktion.

IV) Ohne weitere Annahmen gibt es a priori keine Garantie dafür, dass das Noether-Rezept aus einer QS eine nicht-triviale CL macht.

Beispiel 2: Lagrangian lassen$L(q)=0$sei die triviale Lagrangedichte. Die Variable$q$ist ein reines Messgerät. Dann die lokale Eichsymmetrie$\delta q(t)=\epsilon(t)$ist eine Symmetrie, obwohl die entsprechende CL trivial ist.

Beispiel 3: Lagrangian sei$L=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^3(q^i)^2-q^1q^2q^3$. Die eom sind$q_1\approx q_2q_3$und zyklische Permutationen. Daraus folgt, dass die Positionen$q^i\in\{ 0,\pm 1\}$sind konstant. (Nur$1+1+3=5$aus dem$3^3=27$Zweige sind konsistent.) Jede Funktion$Q=Q(q)$ist eine Erhaltungsgröße. Die Transformation$\delta q^i=\epsilon \dot{q}^i$ist ein QS der Aktion$S$.

Wenn wir eine Bijektion zwischen QSs und CLs formulieren wollen, müssen wir Äquivalenzklassen von QSs und CLs modulo trivial QSs bzw. CLs berücksichtigen.

• Eine QS-Transformation$\delta q^i$heißt trivial , wenn es auf der Schale verschwindet (Ref. 1, S.292).

Ein CL wird aufgerufen

1. trivial erster Art , wenn der Noetherstrom$Q$verschwindet auf der Schale.

2. trivial zweiter Art , wenn CL aus der Schale verschwindet.

3. trivial , wenn es sich um eine lineare Kombination von CLs erster und zweiter Art handelt (Ref. 1, S.264-265).

V) Die wichtigste Annahme ist, dass angenommen wird, dass die eoms (völlig) nicht entartet sind. Olver schreibt (Lit. 1, Def. 2.83.): Ein System von Differentialgleichungen heißt vollständig nicht entartet, wenn es und alle seine Verlängerungen sowohl von maximalem Rang als auch lokal lösbar sind$^{\ddagger}$.

Die Nichtentartungsannahme schließt die Aktion aus$S$hat eine lokale Eichsymmetrie. Wenn$N=1$, dh$L=L(q,\dot{q},t)$, bedeutet die Nichtentartungsannahme, dass die Legendre-Transformation regulär ist, so dass wir leicht eine entsprechende Hamilton-Formulierung konstruieren können$H=H(q,p,t)$. Der Hamiltonian Lagrangeian liest

VI) Für ein Hamiltonsches Wirkungsfunktional$S_H[p,q] = \int\! dt~ L_H$, gibt es einen kanonischen Weg, um eine inverse Abbildung aus einer Erhaltungsgröße zu definieren$Q=Q(q,p,t)$zu einer Verwandlung von$q^i$und$p_i$unter Verwendung der Noether-Ladung$Q$als Hamilton-Generator für die Transformationen, wie auch zB in meiner Phys.SE-Antwort hier erklärt . Hier erinnern wir kurz an den Beweis. Das On-Shell-CL (2) impliziert

off-shell, vgl. Bemerkung 2 und dieser Phys.SE-Beitrag. Die entsprechende Umformung

ist ein QS des Hamiltonian Lagrangeians

Weil$\delta L_H$ist eine Gesamtzeitableitung. Hier$Q^0$ist die bloße Noether-Ladung

und

Daher die entsprechende volle Noether-Ladung

ist genau die Erhaltungsgröße$Q$mit der wir angefangen haben. Daher funktioniert die inverse Abbildung im Hamilton-Fall.

Beispiel 4: Das nicht-relativistische freie Teilchen$L_H=p\dot{q}-\frac{p^2}{2m}$hat zB die beiden erhaltenen Ladungen$Q_1=p$und$Q_2=q-\frac{pt}{m}$.

Das inverse Noether-Theorem für nicht entartete Systeme (Lit. 1, Thm. 5.58) lässt sich intuitiv aus der Tatsache verstehen, dass:

1. Erstens gibt es ein zugrunde liegendes Hamiltonsches System$S_H[p,q]$, wo die bijektive Übereinstimmung zwischen QS und CL offensichtlich ist.

2. Zweitens durch Integration der Impulse$p_i$wir können argumentieren, dass die gleiche bijektive Entsprechung für das ursprüngliche Lagrange-System gilt.

VII) Abschließend Lit. 3 listet KdV und Sinus-Gordon als Gegenbeispiele zu einem inversen Noether-Theorem auf. KdV und Sinus-Gordon sind integrierbare Systeme mit unendlich vielen Erhaltungsladungen$Q_n$, und man kann unendlich viele entsprechende pendelnde Hamiltonoperatoren einführen$\hat{H}_n$und Zeiten$t_n$. Laut Olver sind KdV und Sinus-Gordon keine wirklichen Gegenbeispiele, sondern nur das Ergebnis eines Versäumnisses, richtig zwischen nicht-trivialem und trivialem CL zu unterscheiden. Siehe auch Ref. 4.

Verweise:

1. PJ Olver, Anwendungen von Lügengruppen auf Differentialgleichungen, 1993.

2. VI Arnold, Mathematische Methoden der Klassischen Mechanik, 2. Aufl., 1989, Fußnote 38 auf S. 88.

3. H. Goldstein, Klassische Mechanik; 2. Aufl., 1980, p. 594; oder 3. Aufl., 2001, p. 596.

4. LH Ryder, Quantum Field Theory, 2. Aufl., 1996, p. 395.

$^{\dagger}$Beachten Sie, dass, wenn man die echte Analytik aufgibt, sagen Sie für$C^k$Stattdessen kann die Analyse sehr technisch und umständlich werden. Auch wenn man mit der Kategorie glatt arbeitet$C^\infty$Funktionen statt der Kategorie der reellen analytischen Funktionen, könnte man auf das Lewy-Phänomen stoßen , bei dem die Bewegungsgleichungen (eom) überhaupt keine Lösungen haben! Eine solche Situation würde den Begriff eines Erhaltungsgesetzes (CL) ein wenig akademisch erscheinen lassen! Aber auch ohne Lösungen kann ein CL als formale Folge von eoms formal bestehen bleiben. Lassen Sie uns schließlich hinzufügen, dass, wenn man nur an einem bestimmten Aktionsfunktional interessiert ist$S$(im Gegensatz zu allen Aktionsfunktionen innerhalb einer Klasse) ist meistens viel weniger Differenzierbarkeit erforderlich, um die Regelmäßigkeit sicherzustellen.

$^{\ddagger}$ Der maximale Rang ist entscheidend, während lokal lösbar möglicherweise nicht erforderlich ist, vgl. vorherige Fußnote.

Wenn das Erhaltungsgesetz allgemein ist , was bedeutet, dass es nicht spezifisch für eine Bewegung ist, sondern in einer allgemeinen Konfiguration konserviert wird, dann lautet die Antwort ja. Dies folgt aus der Theorie der kanonischen Transformationen in der klassischen Mechanik.

Betrachten Sie zunächst eine perfekt dreieckige symmetrische Anfangsbedingung von drei Teilchen, die auf einem gleichseitigen Dreieck angeordnet sind, mit Geschwindigkeiten, die um den entsprechenden Winkel (120 Grad, 240 Grad) gedreht sind, um eine dreizählige Rotationssymmetrie zu ergeben. In dieser Anfangsbedingung gilt für dreiecksinvariante Kraftgesetze eine Erhaltung der Dreieckssymmetrie, sodass die Konfiguration die Eigenschaft hat, dass bei gegebener Lage des Massenschwerpunkts und eines der Teilchen die anderen beiden gefunden werden können. Dies ist die klassische diskrete Symmetrie und lässt sich nicht auf eine beliebige Bewegung verallgemeinern, sodass ihr keine Symmetrie zugeordnet ist.

Aber wenn Sie eine allgemeine Erhaltungsgröße Q(x,p) auf dem Phasenraum haben, die für alle Anfangsbedingungen x,p erhalten bleibt, dann

Wobei die Klammer die Poisson-Klammer ist. Daraus folgt, dass die Bewegung im Phasenraum Q als Hamitonian verwendet

macht eine Transformation des Phasenraums mit x, p zu x (s), p (s), und diese Transformation pendelt mit der Hamiltonschen Zeitentwicklung und definiert eine Symmetrie im Phasenraum, deren Noether-Strom die Erhaltung von Q ergibt.

Die gleiche Idee funktioniert umgekehrt, und in der Quantenmechanik ersetzen Sie einfach die klassische Poisson-Klammer durch den Kommutator und verwenden Q als Hamilton-Operator, um die Wellenfunktionsentwicklung zu erzeugen:

und das gibt Ihnen die Symmetrie. Das Schöne an der QM ist, dass auch diskrete Symmetrien, die quantenmechanisch exakt sind, Erhaltungsgrößen hervorbringen, so dass das Dreieckskraftgesetz den Operator, der die Wellenfunktion um 120 Grad dreht, erhält und man die stationären Zustände nach ihrem Z_3 klassifizieren kann diskrete Ladung. Der Hauptunterschied besteht darin, dass jeder Zustand in der Quantenmechanik als Überlagerung symmetrischer Zustände geschrieben werden kann, indem gedrehte Versionen von sich selbst mit der entsprechenden Phase überlagert werden.

Ich weiß nicht, wie ich das Folgende beweisen soll, aber es sollte Ihre Frage zumindest sachlich beantworten. Das Folgende zitiere ich aus dem Buch „Classical Mechanics“ von Goldstein: „Es sollte angemerkt werden, dass der Satz von Noether zwar beweist, dass eine kontinuierliche Symmetrieeigenschaft einer Lagrange-Dichte zu einer Erhaltungsbedingung führt, das Gegenteil jedoch nicht zutrifft. Es scheint Erhaltungsbedingungen zu geben das kann keiner Symmetrieeigenschaft entsprechen. Die prominentesten Beispiele sind im Moment die Felder, die Solitonenlösungen haben, z. B. , die durch die Sinus-Gordon-Gleichung oder die Korteweg-deVries-Gleichung beschrieben werden.

Ich hoffe, das beantwortet Ihre Frage.

Es ist in der Tat wahr, dass es eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen Ein-Parameter-Gruppen verallgemeinerter Variationssymmetrien einiger Funktionen und den Erhaltungsgesetzen der zugehörigen Euler-Lagrange-Gleichungen gibt. Genaue Aussagen und Definitionen finden sich beispielsweise in Kapitel 5 von Olver, "Applications of Lie Groups to Differential Equations". Unabhängig von der Frage kann ich das Buch sehr empfehlen, wenn Sie sich für solche Fragen interessieren. Tatsächlich hat Noether ihren Satz in dieser Allgemeinheit bereits formuliert, aber normalerweise werden im Physikunterricht nur die trivialen Aspekte davon besprochen.

Eine vielleicht interessantere Frage ist, welche Sätze von Differentialgleichungen die Euler-Lagrange-Gleichungen eines Variationsproblems sein können, da es zumindest denkbar ist, dass die Beschreibung einiger physikalischer Systeme nicht aus Variationsproblemen entsteht. Dies wurde bereits von Helmholtz untersucht und auch in diesem Buch diskutiert.

Ironischerweise lässt die Korteg-de-Vries-Gleichung eine unendliche Anzahl solcher verallgemeinerter Symmetrien zu, weshalb sie „exakt lösbar“ und für die Solitonenlösungen ist. Die akzeptierte Antwort ist also nicht nur falsch, sondern sogar das vom Autor gegebene Beispiel ist ein gutes Gegenbeispiel.

Die reelle Umkehrung des ersten Theorems ist die zweite. Ihre Formulierung der Umkehrung des ersten Theorems ist zu wörtlich und daher als besonderer Fall unter zusätzlichen Bedingungen gültig.