Ableitung von p=mvp=mvp = mv aus Translationssymmetrie (Impulserhaltungssatz)?

Wenn wir ein paar Koordinaten haben$q_i$und einige Momente$p_i$, dann ist ein Generator einer Transformation als Funktion definiert$g(q_i, p_i)$. Per Definition erzeugt dies die Transformation

$$q_i \to q_i + \epsilon \frac{\partial g}{\partial p_i}$$

$$p_i \to p_i + \epsilon \frac{\partial g}{\partial q_i}$$

Wenn wir also den Übersetzungsgenerator wollen, wollen wir

$$q_i \to q_i + \epsilon$$

Wo$q_i = x$, einige bestimmte rechtwinklige Koordinate, und auch

$$p_x \to p_x$$

(da wir nur Übersetzung erzeugen wollen, ohne Impulse zu ändern). Diese implizieren$g = p_x + c$. Einstellung$c=0$, sehen wir, dass der x-Impuls der Generator von Translationen in x-Richtung ist.

Du kannst es nicht wirklich zeigen$p_x = m\dot{x}$es sei denn, Sie treffen einige Annahmen über den Hamilton-Operator. Wenn wir davon ausgehen$H(x,p_x) = \frac{1}{2m}p_x^2 + V(x)$, dann geben die Hamilton-Gleichungen

$$\frac{\partial H}{\partial p_x} = \dot{x} = \frac{p}{m}$$

wie Sie angefordert haben.

All dies ist nur sinnvoll, wenn Sie analytische Mechanik aus einer Quelle studiert haben, die zufällig Generatoren ausgelassen hat. Wenn nicht, sollten Sie sich wahrscheinlich die Hamiltonsche Formulierung der Mechanik ansehen. Kapitel 2 von Shankars Prinzipien der Quantenmechanik ist ein Überblick über die analytische Mechanik, der speziell darauf abzielt, Sie auf die Quantenmechanik vorzubereiten, und enthält eine Diskussion über Generatoren.