Gibt es ein Analogon zum Runge-Lenz-Vektor für ein kugelsymmetrisches harmonisches 3D-Potential?

Ja , es gibt ein Analogon des Laplace-Runge-Lenz-Vektors, sogar noch mehr! Der N - dimensionale harmonische Oszillator ist eines von wenigen superintegrierbaren Systemen, bei denen Sie eine maximale Anzahl (2 N - 1) unabhängiger Bewegungskonstanten haben, was zu geschlossenen Trajektorien in der klassischen Mechanik und zu Spektrumsentartungen in der QM führt. Es ist nur so, dass höherdimensionale Oszillatoren getrennt und trivial zu lösen sind, weshalb die Menschen ihre Symmetrien lange Zeit ignorierten. OK, die eigentliche Symmetrie, sogar für den klassischen Oszillator, ist U(N) , also erfordern geometrische Konstruktionen (Saenz) komplexe Vektoren, aber lassen Sie uns nicht darauf eingehen.

Aber erinnern Sie sich, im Fall des LRL-Vektors sind die meisten der erhaltenen Ladungen abhängig, sodass es im Fall des Coulomb-Potentials nur 5 unabhängige Ladungen gibt, obwohl die Symmetrie SO (4) ist, mit 6 Generatoren an der Spitze des Hamiltonoperators, die 3 Drehimpulse L und die 3 Komponenten des LRL-Vektors A . Dennoch unterliegt dieser Vektor zwei Einschränkungen mit L und E , sodass die unabhängigen Ladungen 5 sind: E , L und nur eine der 3 Komponenten von A. Somit ist die Trajektorie im 6D-Phasenraum eine Linie, der Schnittpunkt von 5 Hyperflächen. Puh! noch eins mehr und es hätte es an einem Punkt in Phasen Raum und gefrorener Evolution geschnitten! Wir können also das gesamte A verwenden , in der Gewissheit, dass zwei seiner Komponenten von allen anderen abhängen.

OK, jetzt, zur Spezifizierung und gemäß Ihrer Frage, lassen Sie uns den harmonischen Oszillator in 3D betrachten, also im 6D-Phasenraum, wobei m =1= ω eingestellt wird, dh die in unseren Einheiten absorbiert werden:

$$H=(p_x^2 + x^2 + p_y^2 + y^2 + p_z^2 + z^2 )/2.$$ Die Symmetriegruppe davon ist erstaunlicherweise SU(3) mit 8 Ladungen. Zwei davon sind offensichtlich: Jenseits von E sind sie, sagen wir, $E_x= (p_x^2 + x^2 )/2$und $E_y= (p_y^2 + y^2 )/2$, die Ladungen der Cartan-Subalgebra! Na sicher, $E_z$ist von ihnen abhängig, $=E-E_x-E_y$.

Wir könnten viel Zeit damit verbringen, den Rest auszuwählen und auszuwählen, aber Sie können sich davon überzeugen, indem Sie ihre PBs mit dem Hamilton-Operator darüber nehmen, dass eine Drehung um die z -Achse,

$$L_z= x p_y-y p_x,$$ und eine um die x -Achse, $$L_x= y p_z-z p_y,$$ werden konserviert; Es könnte etwas mehr Arbeit erfordern, um zu zeigen, dass die verbleibenden SU(3) -Generatoren tatsächlich von diesen 5 aufgelisteten abhängig sind, aber genau das haben die Pioniere getan:

• Jauch & Hill 1940

• Bäcker 1956

• AW Saenz 1949, On Integrals of Motion of the Runge Type in Classical and Quantum Mechanics , Doktorarbeit der University of Michigan.

Endlich ein Nachlass, Curtright & Zachos 2003 ; online : Die Gebühren sind so organisiert, dass sie trivial zeigen, dass dies, wie alle maximal superintegrierbaren Systeme, am elegantesten in Form von Nambu-Klammern anstelle von PBs nach einer natürlichen Reduction ad Dimidium ausgedrückt werden kann - aber man könnte argumentieren, dass dies das Sahnehäubchen ist Kuchen. Andererseits ist es das, wonach Sie im Wesentlichen fragen. Trennbare Oszillatoren werden offensichtlich durch Inspektion gelöst und benötigen keine Hochleistungsverfahren. Im Gegenteil, sie können dazu dienen, solche zu veranschaulichen und zu rationalisieren. Das tun sie.

Bearbeiten Sie QM : Quantenmechanisch ist die SU (3) -Struktur besser erkennbar. Verwenden der Triplets des Erstellungsoperators$a^\dagger_i$In der Jordan-Schwinger-Karte belaufen sich die obigen 5 unveränderlichen Ladungen auf gesättigte Bilineare der Gell-Mann-Matrix:$a^\dagger \!\!\cdot a; ~ a^\dagger \lambda_3 a; ~a^\dagger \lambda_8 a; ~a^\dagger \lambda_2 a; ~ a^\dagger \lambda_7 a$.