Harmonischer 2D-Oszillator mit 4 Bewegungskonstanten und Superintegrierbarkeit

Ein harmonischer 2D-Oszillator

H = P X 2 + P j 2 + X 2 + j 2
hat 4 Konstanten der Bewegung: E die Gesamtenergie, D die Energiedifferenz zwischen Koordinaten, L der Drehimpuls und K die Korrelation. Siehe zum Beispiel https://doi.org/10.1119/1.1971258

Ich habe oft gelesen, dass ein System höchstens haben kann 2 N − 1 Konstanten der Bewegung, und ein solches System ist maximal superintegrierbar. In diesem Fall N = 2 , impliziert, dass die meisten Bewegungskonstanten, die das System haben kann, 3 sind.

Außerdem hat ein harmonischer 3D-Oszillator 9 Bewegungskonstanten und 9 > 5 .

Wie wird das vereinbart?

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Antworten (1)

Die vier Invarianten

2 E X = P X 2 + X 2 , 2 E j = P j 2 + j 2 , L = j P X − X P j , K = X j + P X P j ,
sind gemäß der Anforderung der linearen algebraischen Methode dieses Artikels linear unabhängig; aber sie sind natürlich keine algebraisch unabhängigen Größen, qua Hyperflächen im 4d-Phasenraum.

Sie können das leicht überprüfen

L 2 + K 2 = 4 E X E j .
Das ist gut so, damit es im Phasenraum eine Flugbahn gibt und das Teilchen nicht eingefroren wird: Das Teilchen muss auf allen konstanten Flächen liegen, und seine Flugbahn ist der Schnittpunkt von drei beliebigen . Ein unabhängiger würde es an einem Punkt schneiden und einfrieren!

Erinnern Sie sich, dass die Symmetrie des Systems SU(2) ist. Die 4 Invarianten repräsentieren die 3 Erzeuger L , K , 2 ( E X − E j ) und die Identität (Hamiltonian), also die quadratische Casimir-Invariante davon.

Die analoge Abhängigkeit wirkt noch deutlicher im 3D-Oszillator, vgl. 194768 , dessen Symmetrie SU(3) ist . Sie können den unabhängigen Satz wählen E 1 , E 2 , E 3 , L 12 , L 23 .

Aber in der Regel hat man in n d 2 n –1 unabhängige Invarianten, also eine vollständig spezifizierte Trajektorie als deren Schnittpunkt – Superintegrierbarkeit.

Mir ist klar, dass dies technisch sein kann, aber meinst du das wirklich? S u ( 2 ) und nicht u ( 2 ) ?
Nein, du hast mich; technisch. Ja, die Identität, und auch Casimir der su(2) , hat kein Problem damit, sich algebraisch zu einer u(2) zusammenzupacken . Zeigt meine Sorge, Invarianten abzuwerfen , nicht aufzuhäufen ...!
Harmonischer 2D-Oszillator mit 4 Bewegungskonstanten und Superintegrierbarkeit
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