Wie kann man beweisen, dass ein Hamiltonsches System *nicht* Liouville-integrierbar ist?

Der explizite Beweis der Nichtintegrierbarkeit eines beliebigen Hamiltonschen Systems ist ein offenes Problem.

Für einige Klassen von Hamiltonschen Systemen (z. B. Systeme auf einer Ebene) ist es möglich, die Nichtintegrierbarkeit des Systems explizit zu beweisen, indem Sätze von Poincare, Burns, Ziglin und Yoshida (und Verallgemeinerungen) verwendet werden.

Zum Beispiel gibt es einen Satz von Poincare:

Für einen Hamiltonian der Form:

1:    $H = \frac{p_x^2 + p_y^2}{2} + V(x,y)$

Wenn die Hamiltonfunktion (1) eine isolierte periodische Lösung haben kann , dann ist das System nicht integrierbar (insbesondere gibt es kein zweites Bewegungsintegral, das unabhängig von der ist$H$)

Zur Bedeutung der isolierten periodischen Lösung in Bezug auf Poincares Methode siehe zum Beispiel hier und hier

Der Satz von Ziglin hat umfangreichere Anwendungen:

Wenn das Hamiltonsche System (1) integrierbar ist, gibt es eine Monodromiematrix $\Delta$aus der Monodromiegruppe der vertikalen Variationsgleichung , dann jede andere Monodromiematrix $\Delta'$mit pendeln muss$\Delta$oder seine Eigenwerte sein müssen$i, -i$

Der Satz von Yoshida beinhaltet hamiltonische Systeme mit homogeneopus Potentialen (siehe zum Beispiel hier für eine Verallgemeinerung)

Verwandte Ansätze beinhalten die Painleve-Eigenschaften und die Charakterisierung der Bewegungsgleichungen (z. B. hier , hier und hier ).

Darüber hinaus gibt es Ansätze zur Integrierbarkeit, die die Differential-Galois-Theorie (dh die Galois-Theorie für Differentialgleichungen) beinhalten, wo man die Analogie Lösbarkeit -> Integrierbarkeit hat . Dieser Ansatz kann auch verschiedene andere Ansätze vereinen (z. B. hier und hier )

User Nikos M hat bereits eine gute Antwort gegeben. An dieser Stelle möchten wir das folgende Poincare-Theorem erwähnen, mit dem die Nichtexistenz von Bewegungsintegralen bewiesen werden kann, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

Satz von Poincare (1892):

• Betrachten Sie ein autonomes Hamiltonsches System in a$2n$-dimensionale symplektische Mannigfaltigkeit$({\cal M}, \{\cdot,\cdot\})$mit Hamilton-Funktion ausgestattet$H:{\cal M}\to \mathbb{R}$.

• Es sei eine periodische Lösung gegeben$\Gamma(t)=\Gamma(t+T)$mit Start- und Endpunkt$p=\Gamma(0)=\Gamma(T)\in {\cal M}$.

• Lass es geben$r$funktional unabhängige, Poisson-kommutierende Bewegungsintegrale$F_1,\ldots, F_r$in einer röhrenförmigen Nachbarschaft${\cal U}\subseteq {\cal M}$von$\Gamma$, wo$r\leq n$, und wo der Hamiltonian$H|_{\cal U}$ist eine Funktion von$F_1,\ldots, F_r$nur.

• Lassen$\sigma: {\cal M} \times \mathbb{R} \to {\cal M}$den Hamiltonschen Fluss bezeichnen , der dem Hamiltonschen Vektorfeld entspricht$X_{-H}=\{-H,\cdot\}$.

Dann die Monodromiekarte $\sigma_{\ast}(p,T): T_p{\cal M}\to T_p{\cal M}$am Punkt$p$hat$r$Eigenvektoren$X_{-F_1}(p), \ldots, X_{-F_r}(p),$und$r$Co-Eigenvektoren$\mathrm{d}F_1(p), \ldots, \mathrm{d}F_r(p),$alle mit Eigenwert$1$. In der Tat die Monodromie-Karte$\sigma_{\ast}(p,T)$hat ( verallgemeinert ) Eigenwert 1 mit Multiplizität$2r$.

Skizzierter Beweis des Satzes von Poincare:

1. In einer Nachbarschaft von$p\in {\cal M}$, können wir das Caratheodory-Jacobi-Lie-Theorem verwenden, um lokale Darboux-Koordinaten zu konstruieren

   $$z^I ~=~(\varphi^1, \ldots, \varphi^r, q^1,\ldots, q^{n-r}, p_1,\ldots, p_{n-r}, F_1, \ldots, F_r ),$$ mit kanonischen Poisson-Klammern ungleich Null $$\{\varphi^i, F_j\} ~=~\delta^i_j, \qquad i,j\in\{1, \ldots, r\},$$ $$\{q^a, p_b\} ~=~\delta^a_b, \qquad a,b\in\{1, \ldots, n-r\}.$$

2. Die Monodromiematrix

   $$M^I{}_J ~=~ \frac{\partial z^I(T)}{\partial z^J(0)}, \qquad I,J\in\{1, \ldots, 2n\},$$ am Punkt$p$hat$r$Co-Eigenvektoren $$\begin{align} &\begin{bmatrix} \vec{0}^T{}_{1\times r}& \vec{0}^T{}_{1\times 2(n-r)}&\vec{e}_i^T{}_{1\times r}\end{bmatrix}_{1\times 2n}\cr ~=~& \frac{\partial F_i(z(0))}{\partial z^I(0)}\cr ~=~&\frac{\partial F_i(z(T))}{\partial z^I(0)} \cr ~=~&\frac{\partial F_i(z(T))}{\partial z^J(T)}\frac{\partial z^J(T)}{\partial z^I(0)}\cr ~=~&\frac{\partial F_i(z(0))}{\partial z^J(0)} M^J{}_I,\end{align}$$ $i\in\{1, \ldots, r\}$, mit Eigenwert 1.

3. Da die Strömung$\sigma$ist Hamiltonian, die Monodromiematrix$M$muss symplektisch sein

   $$\begin{align} \{z^I(T),z^J(T)\}~=~& \{z^I(0),z^J(0)\}, \cr I,J~\in~&\{1, \ldots, 2n\},\end{align}$$ oder gleichwertig, $$\begin{align} M^T\omega M~=~&\omega, \cr \omega ~=~& \begin{bmatrix} \mathbb{0}_{n\times n} & -\mathbb{1}_{n\times n}\cr \mathbb{1}_{n\times n} & \mathbb{0}_{n\times n} \end{bmatrix}_{2n\times 2n} .\end{align}$$ Daher hat die Monodromiematrix$r$Eigenvektoren $$\begin{align} \begin{bmatrix} \vec{e}_i{~}_{r\times 1} \cr \vec{0}{~}_{2(n-r)\times 1} \cr \vec{0}{~}_{r\times 1}\end{bmatrix}_{2n\times 1} ~=~&X^I_{-F_i}\cr ~=~&\{z^I(0),F_i \}\cr ~=~&\{z^I(T),F_i \} \cr ~=~&\frac{\partial z^I(T)}{\partial z^J(0)} \{z^J(0),F_i \}\cr ~=~& M^I{}_J \{z^J(0),F_i \}\cr ~=~& M^I{}_J X^J_{-F_i},\end{align}$$ $i\in\{1, \ldots, r\}$, mit Eigenwert 1.

4. Insgesamt leiten wir daraus die Monodromiematrix ab$M$hat die folgende Block-Dreiecks-Form

   $$M ~=~ \begin{bmatrix} \mathbb{1}_{r\times r} & \ast & \ast \cr \mathbb{0}_{2(n-r)\times r} & \ast & \ast \cr \mathbb{0}_{r\times r} &\mathbb{0}_{r\times 2(n-r)}& \mathbb{1}_{r\times r}\end{bmatrix}_{2n\times 2n} .$$ Daher das charakteristische Polynom$\det(M-\lambda \mathbb{1}_{2n\times 2n} )$hat verallgemeinerten Eigenwert 1 mit Multiplizität$2r$.$\Box$

Poincare-Korollar: Wenn ein autonomes Hamiltonsches Liouville-integrierbares System eine periodische Lösung hat$\Gamma(t)=\Gamma(t+T)$, dann die Monodromiematrix für das linearisierte System entlang$\Gamma$kann nur 1 als ( verallgemeinerten ) Eigenwert haben.

Verweise:

1. H. Poincare, Les Methoden Nouvelles de la Mecanique Celeste , Bd. Ich, (1892); p. 192-198.

2. A. Chenciner, Poincare und das Drei-Körper-Problem , (2012); p. 87. (Huttipp: Nikos M. )

3. JJ Morales-Ruiz, Differential Galois Theory and Non-Integrability of Hamiltonian Systems, Progress in Math. 179 (1999) ; p. 3-4 & p. 57.