Analytischer Nachweis der Nicht-Integrierbarkeit des Henon-Heiles-Systems?

Question

Analytischer Nachweis der Nicht-Integrierbarkeit des Henon-Heiles-Systems?

Kaiser

U (X, j) = \frac{1}{2} (X^{2} + j^{2} + 2 X^{2} j - \frac{2}{3} j^{3}) .

$U(x,y ) = \frac{1}{2} (x^2 + y^2 + 2 x^2 y - \frac{2}{3} y^3) .$

Dies ist ein System mit zwei Freiheitsgraden. Der vollständige Hamiltonoperator ist

H = P_{X}^{2} + P_{j}^{2} + U (X, j) .

$H = p_x^2 + p_y^2 + U(x,y ) .$

Es wird numerisch gezeigt, dass es nicht integrierbar ist. Aber kann man das streng analytisch beweisen? Das Problem läuft darauf hinaus, die Nichtexistenz eines zweiten ersten Integrals/Bewegungsintegrals zu beweisen.

Wenn dieses Problem zu schwierig ist, gibt es ein einfacheres Modell, dessen Nichtintegrierbarkeit analytisch nachgewiesen werden kann?

Antworten (1)

Analytischer Nachweis der Nicht-Integrierbarkeit des Henon-Heiles-Systems?

QMechaniker · Answer 1

Allgemeine analytische Methoden zum Nachweis der Nicht-Integrierbarkeit werden zB in diesem Phys.SE-Beitrag diskutiert. In dieser Antwort skizzieren wir, wie die folgende Poincare-Korollarität anzuwenden ist.

Poincare-Korollar: Wenn ein autonomes Hamiltonsches Liouville-integrierbares System eine periodische Lösung hat $z_0(t)=z_0(t+T)$ , dann die Monodromiematrix für das linearisierte System entlang $z_0$ nur 1 als ( verallgemeinerten ) Eigenwert haben kann.

Ein Beweis für das Poincare-Korollar ist in meiner Phys.SE-Antwort hier angegeben .

$\uparrow$ Abb. 1. Poincare-Karten in der $(y,\dot{y})$ Flugzeug mit $(x,\dot{x})=(0,0)$ für verschiedene feste Energieniveaus $E$ des Henon-Heiles (HH)-Systems . Wir betrachten im Folgenden die äußerste periodische Umlaufbahn für $E=1/6$ Und $E=1/12$ .

Skizzierter analytischer Beweis, dass das HH-System nicht integrierbar ist: Das HH-System hat Lagrange $^1$

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} L = & T - v, \\ T = & \frac{1}{2} ({\dot{X}}^{2} + {\dot{j}}^{2}) = \frac{1}{2} ({\dot{R}}^{2} + R^{2} {\dot{θ}}^{2}), \\ v = & \frac{1}{2} (X^{2} + j^{2}) + X^{2} j - \frac{1}{3} j^{3} = \frac{R^{2}}{2} + \frac{R^{3}}{3} Sünde 3 θ, \\ X + ich j \equiv & R e^{ich θ} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} L ~=~&T-V, \cr T ~=~&\frac{1}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2) ~=~\frac{1}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2), \cr V~=~&\frac{1}{2}(x^2+y^2)+x^2y-\frac{1}{3}y^3 ~=~\frac{r^2}{2}+\frac{r^3}{3}\sin 3\theta, \cr x+iy ~\equiv~& re^{i\theta}. \end{align}\tag{1}$ Die EL-Gleichungen sind

\begin{matrix} (2) & - {\ddot{X}}_{0} = X_{0} + 2 X_{0} j_{0}, \end{matrix}

$-\ddot{x}_0~=~x_0 +2x_0y_0, \tag{2}$

\begin{matrix} (3) & - {\ddot{j}}_{0} = j_{0} + X_{0}^{2} - j_{0}^{2} . \end{matrix}

$-\ddot{y}_0~=~y_0 +x_0^2-y_0^2.\tag{3}$ Wir suchen eine periodische Lösung

y_{0} (t) = y_{0} (t + T)

$y_0(t)=y_0(t+T)$ mit

x_{0} (t) \equiv 0

$x_0(t)\equiv 0$ . Dann Gl. (2) ist automatisch erfüllt. Die Energie

\begin{matrix} (4) & E = \frac{1}{2} {\dot{j}}_{0}^{2} + \frac{1}{2} j_{0}^{2} - \frac{1}{3} j_{0}^{3} \end{matrix}

$E~=~ \frac{1}{2}\dot{y}_0^2+\frac{1}{2}y_0^2 -\frac{1}{3}y_0^3 \tag{4}$ wird konserviert. In Betracht ziehen

(x, y) = (x_{0}, y_{0}) + (ξ, η)

$(x,y)=(x_0,y_0)+ (\xi,\eta)$ , Wo

(ξ, η)

$(\xi,\eta)$ ist eine infinitesimale Schwankung. Die linearisierten EL-Gleichungen

\begin{matrix} (5) & \ddot{ξ} = - (1 + 2 j_{0}) ξ, \end{matrix}

$\ddot{\xi}~=~-(1+2y_0)\xi ,\tag{5}$

\begin{matrix} (6) & \ddot{η} = (2 j_{0} - 1) η, \end{matrix}

$\ddot{\eta}~=~(2y_0-1)\eta,\tag{6}$ entkoppeln. [Die Gl. (6) entspricht der Dimensionsreduktion auf das 1D-Subsystem in der

y

$y$ -Richtung allein. Dies ist offensichtlich integrierbar, sodass wir bereits wissen, dass die entsprechenden 2 verallgemeinerten Eigenwerte für die Monodromiematrix in der

y

$y$ -Richtung ist

1

$1$ . Daher Gl. (5) wird der eigentliche Integrierbarkeitstest sein.]

Erster Versuch: $E=\frac{1}{6}$ . Das erste Integral (4) wird

\begin{matrix} (7) & {\dot{j}}_{0} = \pm (1 - j_{0}) \sqrt{j_{0} + 1 / 2}, - \frac{1}{2} \leq j_{0} \leq 1. \end{matrix}

$\dot{y}_0~=~\pm (1-y_0)\sqrt{y_0+1/2}, \qquad -\frac{1}{2}~\leq~y_0~\leq~1. \tag{7}$ Es hat Lösung

\begin{matrix} (8) & j_{0} (T) = \frac{3}{2} Tanh u - \frac{1}{2} = 1 - \frac{3 / 2}{{cosch}^{2} u}, u \equiv \frac{T}{2} . \end{matrix}

$y_0(t)~=~ \frac{3}{2}\tanh u-\frac{1}{2} ~=~1-\frac{3/2}{\cosh^2u},\qquad u~\equiv~\frac{t}{2}.\tag{8}$ Leider ist der Zeitraum unendlich

T = \infty

$T=\infty$ . Fürs Protokoll, die linearisierten Gl. (5) & (6) werden zu Legendres DE

\begin{matrix} (9) & \frac{D^{2} ξ}{D u^{2}} = - 12 ξ {Tanh}^{2} u, \end{matrix}

$\frac{d^2\xi}{du^2}~=~- 12\xi \tanh^2 u , \tag{9}$

\begin{matrix} (10) & \frac{D^{2} η}{D u^{2}} = (4 - \frac{12}{{cosch}^{2} u}) η . \end{matrix}

$\frac{d^2\eta}{du^2}~=~\left(4 - \frac{12}{\cosh^2 u}\right) \eta. \tag{10}$

Zweiter Versuch: $E=\frac{1}{12}$ . Das erste Integral (4) wird

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} {\dot{j}}_{0} = & \pm \sqrt{\frac{2}{3} (j_{0} - 1) (j_{0}^{2} - j_{0} - 1 / 2)}, \\ \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \leq & j_{0} \leq \frac{1}{2} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}\dot{y}_0~=~&\pm \sqrt{\frac{2}{3}(y_0-1)(y_0^2-y_0-1/2)}, \cr \frac{1-\sqrt{3}}{2}~\leq~&y_0~\leq~\frac{1}{2}.\end{align}\tag{11}$ Es hat eine Lösung in Bezug auf elliptische Jacobi-Funktionen

\begin{matrix} (12) & \begin{aligned} j_{0} (T) = & \sqrt{3} {S N}^{2} u + \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, \\ S N u \equiv & S N (u | M = 2), \\ u \equiv & \frac{T}{2 \sqrt[4]{3}} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} y_0(t)~=~& \sqrt{3}{\rm sn}^2u +\frac{1-\sqrt{3}}{2}, \cr {\rm sn} u~\equiv~&{\rm sn}(u|m\!=\!2), \cr u~\equiv~&\frac{t}{2\sqrt[4]{3}}.\end{align}\tag{12}$ Die linearisierten Gl. (5) & (6) werden zu Lamés DE auf Jacobi-Form

^{2}

$^2$

\begin{matrix} (13) & \frac{D^{2} ξ}{D u^{2}} = (12 - 8 \sqrt{3} - 24 {S N}^{2} u) ξ, \end{matrix}

$\frac{d^2\xi}{du^2}~=~\left(12-8\sqrt{3}- 24 {\rm sn}^2u \right) \xi \tag{13},$

\begin{matrix} (14) & \frac{D^{2} η}{D u^{2}} = (24 {S N}^{2} u - 12) η . \end{matrix}

$\frac{d^2\eta}{du^2}~=~\left(24 {\rm sn}^2u - 12\right) \eta \tag{14}.$ Gl. (13) & (14) können im Prinzip analytisch gelöst werden. Zu diesem Zeitpunkt haben wir zugegebenermaßen nur Gl. (13) in Mathematica und überprüfte numerisch, dass die entsprechenden 2 verallgemeinerten Eigenwerte für die Monodromiematrix in der

x

$x$ -Richtung sind weit von 1 entfernt. Daher ist das HH-System nicht integrierbar, vgl. die Poincare-Ergänzung.

◻

$\Box$

Verweise:

H. Goldstein, Klassische Mechanik, 3. Auflage, Abschnitt 11.6.

--

$^1$ Obwohl die $4\times 4$ sich die Monodromiematrix auf den 4D-Phasenraum bezieht, ist es bequem, den größten Teil der Analyse im 2D-Konfigurationsraum durchzuführen und die Legendre-Transformation zu verschieben.

$^2$ Eine Lösung von Gl. (14) ist

\begin{matrix} (15) & η_{1} (u) := S N u C N u D N u . \end{matrix}

$\eta_1(u)~:=~{\rm sn}u~{\rm cn}u~{\rm dn}u. \tag{15}$ Eine andere unabhängige Lösung lässt sich im Prinzip aus der Formel finden

\begin{matrix} (16) & η_{2} (u) := η_{1} (u) \int^{u} \frac{D u^{'}}{η_{1} (u^{'})^{2}} . \end{matrix}

$\eta_2(u)~:=~\eta_1(u)\int^u\! \frac{du^{\prime}}{\eta_1(u^{\prime})^2}. \tag{16}$

Vermutlich würde die gleiche Strategie gelten, um zu zeigen, dass das 3-Teilchen-Toda-System - das auf 2 Positionen und 2 Impulse reduziert werden kann und eng mit HH verwandt ist - integrierbar ist ? (Natürlich wissen wir das, da eine zweite Bewegungsinvariante bekannt ist).

Analytischer Nachweis der Nicht-Integrierbarkeit des Henon-Heiles-Systems?

Kaiser

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QMechaniker

ZeroTheHero

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