Ist ein Liouville-System genau dann integrierbar, wenn seine Hamilton-Jacobi-Gleichung trennbar ist?

In dieser Antwort gehen wir auf die verschiedenen Definitionen von Integrierbarkeit, Trennbarkeit und AA-Eigenschaft ein, um ihre (geringfügigen) Unterschiede aufzuzeigen.

1. Gegeben sei ein endlichdimensionales autonomes Hamiltonsches System, definiert auf einem Zusammenhang$2n$-dimensionale symplektische Mannigfaltigkeit $({\cal M},\{\cdot ,\cdot \})$.

2. Definition. Das System ist (vollständig) Liouville integrierbar , falls vorhanden$n$funktional unabhängige, Poisson-kommutierende, global definierte Funktionen$F_1, \ldots, F_n: {\cal M}\to \mathbb{R}$, so dass der Hamiltonoperator$H=H(F)$ist eine Funktion von$F_1, \ldots, F_n$, nur. Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

3. Definition. Das System ist (vollständig)$H$- trennbar , wenn ein Atlas der Darboux-Koordinaten existiert $q^1, \ldots, q^n, p_1, \ldots, p_n : {\cal U}\to \mathbb{R}$mit Trennfunktionen$F_1, \ldots, F_n: {\cal U}\to \mathbb{R}$in Dreiecksform

   $$F_1~=~F_1(q^1,p_1), \qquad F_2~=~F_2(q^2,p_2; F_1), \qquad F_3~=~F_3(q^3,p_3; F_1,F_2), \tag{1}$$ $$\qquad \ldots, \qquad F_n~=~F_n(q^n,p_n; F_1,\ldots, F_{n-1}),$$
   so dass der Hamiltonian$H=H(F)$ist eine Funktion von$F_1, \ldots, F_n$, nur.

4. Beachten Sie, dass die Trennung funktioniert$F_1, \ldots, F_n$aus Definition 3 sind automatisch Poisson-kommutierend und Bewegungskonstanten, aber nicht notwendigerweise funktional unabhängig. Eine global definierte$H$-trennendes Darboux-Koordinatensystem mit funktional unabhängigen Trennfunktionen impliziert Integrierbarkeit.

5. Satz. Integrierbarkeit$\Rightarrow$ $H$-Trennbarkeit. Beweis: Verwenden Sie den Satz von Caratheodory-Jacobi-Lie , um die Poisson-Kommutierungskoordinaten zu erweitern$(F_1, \ldots, F_n)$in einen Atlas von Darboux koordinieren Nachbarschaften. Der Hamiltonian$H(F)$liegt dann in trennbarer Form vor.$\Box$

6. Definition. Das System heißt (vollständig)$W$- trennbar , wenn ein Atlas der Darboux-Koordinaten existiert$q^1, \ldots, q^n, p_1, \ldots, p_n : {\cal U}\to \mathbb{R}$und eine Hamiltonsche charakteristische Funktion $W: {\cal U}\times \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$des Formulars

   $$W(q;\alpha)~=~ \sum_{k=1}^n W_k(q^k;\alpha_1, \ldots, \alpha_n),\tag{2}$$ wo$\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$sind$n$unabhängige Integrationskonstanten und wo $$p_k~:=~\frac{\partial W}{\partial q^k}, \qquad k~\in~\{1, \ldots, n\}. \tag{3}$$ so dass die Hamilton-Jacobi (HJ)-Gleichung $$H\left(q,\frac{\partial W(q;\alpha)}{\partial q}\right)~=~h(\alpha)\tag{4}$$ ist befriedigt. Hier$h:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ist eine gegebene Funktion.

7. Fall wo$W$-Trennbarkeit$\Rightarrow$ $H$-Trennbarkeit: Gehen Sie davon aus , dass die$n$Integrationskonstanten$\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$können mit Poisson-kommutierenden Separationsfunktionen identifiziert werden$F_k(z)$,$k\in\{1, \ldots, n\}$. Dann$H=h(F)$und die Trennungsfunktionen werden zu Bewegungskonstanten.

8. $H$-Trennbarkeit bedeutet nicht unbedingt$W$-Trennbarkeit, da es keine Garantie dafür gibt, dass eine global definierte Hamilton-Funktion charakteristisch ist$W$existiert als Lösung der HJ-Gleichung.

9. Definition. Das System hat die AA-Eigenschaft, wenn es einen Atlas der Winkelwirkungskoordinaten gibt$(w^1,\ldots, w^n,J_1,\ldots, J_n)$, wo die symplektische$2$-bilden$\omega=\sum_{k=1}^n\mathrm{d}J_k\wedge \mathrm{d}w^k$ist auf Darboux-Form, wo jedes AA-Koordinatensystem ist$w$-vollständig, und wo der Hamiltonian$H=H(J)$hängt nicht von den Winkeln ab$w^k$. (Wir erlauben nicht kompakte „Winkel“-Variablen. Die kompakten Winkelvariablen haben Einheitsperioden$w^k\sim w^k+1$.)

10. Die AA-Eigenschaft impliziert eindeutig alle Trennbarkeitsbedingungen. Ein global definiertes Winkelwirkungskoordinatensystem impliziert Integrierbarkeit.

11. Fall, wo Integrierbarkeit$\Rightarrow$AA-Eigenschaft: Annehmen$\forall f=(f_1,\ldots, f_n)\in\mathbb{R}^n$dass sich das Niveau einstellt$\bigcap_{k=1}^n F_k^{-1}(\{f_k\})$sind kompakt drin${\cal M}$. Dann zeigt der Satz von Liouville-Arnold die AA-Eigenschaft. Einen Beweis des Satzes von Liouville-Arnold finden Sie in meiner Phys.SE-Antwort hier .

Ich denke, es ist nicht klar, inwieweit die Begriffe Integrierbarkeit und Trennbarkeit einander implizieren. Ein strenger Nachweis der Integrierbarkeit erfordert das Finden der Koordinatentransformationen, die die Aktionswinkelvariablen ergeben, und das Verifizieren, dass sie glatt und invertierbar sind. Andererseits wird allgemein gesagt, dass ein System mit$n$Freiheitsgrade ist Liouville integrierbar, wenn die Dynamik zu erzeugen vermag$n$Bewegungsperioden. In vielen Systemen sind Symmetrien in dem Sinne offensichtlich, dass sie Bewegungskonstanten liefern, und dieses Wissen hilft Ihnen, die Aktionswinkelkoordinaten zu erhalten. Dies ist jedoch möglicherweise nicht immer möglich, selbst wenn das betrachtete System begrenzte Bahnen hat: Sie können auf Fälle stoßen, in denen Trajektorien quasiperiodisch sind, aber es gibt keine Garantie dafür, dass eine Koordinatentransformation in Aktionswinkelkoordinaten existiert. Eine ähnliche Situation ergibt sich in der Quantenversion des Toda-Gitters. Sie können sich die kurze Diskussion darüber zu Gutzwillers Chaos in der klassischen und Quantenmechanik, Abschnitt 3.7, ansehen

Jose-Saletan stellt auf Seite 321 klar fest, dass Aktionswinkelvariablen trotz der fehlenden Trennbarkeit der Hamilton-Jacobi-Gleichung existieren können. Daher halte ich die Verwendung des Ausdrucks "wenn und nur wenn" für falsch.