Integrierbare vs. nicht integrierbare Systeme

Gegeben sei a$2n$-dimensionale reelle symplektische Mannigfaltigkeit $(M,\omega)$mit einer global definierten reellen Funktion$H:M\times[t_i,t_f] \to \mathbb{R}$, die wir den Hamilton-Operator nennen. Die Zeitentwicklung wird durch Hamiltons (oder äquivalent Liouvilles) Bewegungsgleichungen bestimmt. Hier$t\in[t_i,t_f]$ist an der Zeit.

1. Einerseits gibt es den Begriff der vollständigen Integrierbarkeit, auch bekannt als. Liouville-Integrierbarkeit, oder manchmal auch einfach Integrierbarkeit genannt. Das bedeutet, dass es existiert$n$unabhängige global definierte reelle Funktionen

   $$I_i, \qquad i\in\{1, \ldots, n\},$$ (die wir Aktionsvariablen nennen werden ), die paarweise Poisson-Pendelbewegungen, $$\{I_i,I_j\}_{PB}~=~0, \qquad i,j\in\{1, \ldots, n\}.$$

2. Andererseits ist ein Fixpunkt gegeben$x_{(0)}\in M$, existiert unter milden Regularitätsannahmen immer lokal (in einem ausreichend kleinen offenen Darboux$^1$Nachbarschaft von$x_{(0)}$) ein$n$-Parameter vollständige Lösung für die Hauptfunktion von Hamilton

   $$S(q^1, \ldots, q^n; I_1, \ldots,I_n; t)$$ zur Hamilton-Jacobi-Gleichung , wobei $$I_i, \qquad i\in\{1, \ldots, n\},$$
   sind Integrationskonstanten. Dies führt zu einer lokalen Version von Eigenschaft 1.

Der Hauptpunkt ist, dass die globale Eigenschaft 1 selten ist, während die lokale Eigenschaft 2 generisch ist.

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$^1$Eine Darboux-Nachbarschaft bedeutet hier eine Nachbarschaft, in der es eine Reihe von kanonischen Koordinaten gibt, auch bekannt als. Darboux-Koordinaten $(q^1, \ldots, q^n;p_1, \ldots, p_n)$, vgl. Satz von Darboux .

Vollständige Integrierbarkeit ist weitaus stärker als die Lösbarkeit des Anfangswertproblems.

Vollständige Integrierbarkeit impliziert das Fehlen chaotischer Bahnen. Genauer gesagt sind alle begrenzten Bahnen quasiperiodisch und liegen auf unveränderlichen Tori. Störungen eines vollständig integrierbaren Systems bewahren nur einige dieser Tori; dies ist das KAM-Theorem. http://en.wikipedia.org/wiki/KAM_theorem

Das Dreikörperproblem kann chaotische Umlaufbahnen haben und ist daher nicht vollständig integrierbar. Aber es ist einfach, seine Lagrange-Funktion aufzuschreiben.

Es gibt Systeme, die nicht integrierbar sind (im Sinne von Poincaré), weil Wechselwirkungen die Invarianten zerstören. Betrachten Sie einen Hamilton-Operator$H = H_0 + \lambda V$, wo$H_0$ist der ungestörte Hamiltonoperator und$\lambda$die Kopplungskonstante. Wenn Sie mit ausgeschalteten Interaktionen beginnen, können Sie Bewegungsinvarianten finden$\Phi^0$durch die übliche Poisson-Klammer

Wenn das System integrierbar ist, können wir einen neuen Satz von Invarianten finden$\Phi$die in der Kopplung analytisch konstant sind und genügen

wenn Interaktionen aktiviert sind. Ein Beispiel sind die verallgemeinerten Impulse, die aus der Hamilton-Jacobi-Gleichung erhalten werden (wie Sie richtig bemerken).

Aber wenn das System nicht integrierbar ist (im Sinne von Poincaré), dann gibt es solche Invarianten nicht$\Phi$, außer Energie [*] . Für solche Systeme gibt es keine Trajektorien (unendlich nahe Punkte im Phasenraum divergieren zeitlich aufgrund von Poincaré-Resonanzen). Überprüfen Sie Details zu Poincaré-Resonanzen und den Grenzen der Flugbahndynamik und den darin zitierten Referenzen.

[*] Erweitern$\Phi$in einer Taylor-Reihe$\Phi = \sum \lambda^{(n)} \Phi^{(n)}$und jeweils erweitern$\Phi^{(n)}$in einer Fourier-Reihe. Die Halterung$\{H, \Phi\}=0$verwandelt sich in$\{H_0,\Phi^{(n)}\}+\{V, \Phi^{(n-1)}\}=0$. Es kann gezeigt werden, dass dies dem Verschwinden der Fourier-Koeffizienten entspricht$\phi_{k}^0=0$für jeden Wellenvektor$\mathrm{k}$. Gerade nicht integrierbare Systeme (im Sinne von Poincaré) sind Systeme für die$\phi_{k}^0 \neq 0$bei Resonanzen, wodurch die Invarianten zerstört werden.

Dies ist keine vollständige Antwort, aber ich hielt es für eine interessante Tatsache, um sie hier zu posten.

Auch wenn, wie Sie sagen, „die Karte irgendwann aus dem Phasenraum herausragt$t_0$dazu damals$t$ist invertierbar", das System kann immer noch chaotisch sein. Ein Beispiel dafür ist die Hénon-Karte .

$x_{n+1} = 1 - ax_n^2 + y_n$

$y_{n+1} = b x_n$

die für bestimmte Werte der Parameter (z. B.$a=1.4$,$b=0.3$) ist chaotisch, und doch (außer wenn$b=0$) ist invertierbar:

$x_n = \frac{y_{n+1}}{b}$

$y_n = \frac{y_{n+1}}{b} - 1 - \frac{a}{b^2}y_{n+1}$.