Aktionswinkelkoordinaten

Question

Aktionswinkelkoordinaten

Physik
Konventionen
Phasenraum
klassische Mechanik
Bewegungsintegrale
Hamiltonscher Formalismus

Phy09

Ich studiere Aktionswinkelkoordinaten und bin auf zwei unterschiedliche, aber korrekte Definitionen für die neuen verallgemeinerten Impulse gestoßen: $\text{J}_k$ :

J_{k} \equiv \oint P_{k} D Q_{k}

$\text{J}_k \equiv \oint p_k dq_k$

Und

J_{k} \equiv \frac{1}{2 π} \oint P_{k} D Q_{k} .

$\text{J}_k \equiv \frac{1}{2\pi} \oint p_k dq_k .$

Ich versuche zu verstehen, wie sie miteinander in Beziehung stehen.

AccidentalFourierTransform

man enthält einen Faktor von

2 π

$2\pi$ und der andere nicht? Es geht nur um Konventionen, hinter diesem Faktor steckt keine Physik (abgesehen von der Tatsache, dass er den harmonischen Oszillator vereinfacht).

Phy09

Hat das nicht etwas mit Normalisierung oder so zu tun? Ich versuche zu verstehen, warum der eine den Faktor hat und der andere nicht.

Phy09

Also kann ich beide für jeden Fall verwenden und erhalte die gleichen Frequenzen, die gleichen Bewegungsgleichungen usw.? Aber würden die neuen verallgemeinerten Impulse nicht

J_{k}

$\text{J}_k$ , unterscheiden sich um einen Faktor von

2 π

$2\pi$ je nachdem, welche Definition ich verwendet habe?

Antworten (1)

Aktionswinkelkoordinaten

man enthält einen Faktor von $2\pi$ und der andere nicht? Es geht nur um Konventionen, hinter diesem Faktor steckt keine Physik (abgesehen von der Tatsache, dass er den harmonischen Oszillator vereinfacht).
Hat das nicht etwas mit Normalisierung oder so zu tun? Ich versuche zu verstehen, warum der eine den Faktor hat und der andere nicht.
Also kann ich beide für jeden Fall verwenden und erhalte die gleichen Frequenzen, die gleichen Bewegungsgleichungen usw.? Aber würden die neuen verallgemeinerten Impulse nicht $\text{J}_k$ , unterscheiden sich um einen Faktor von $2\pi$ je nachdem, welche Definition ich verwendet habe?

Höhlenmensch · Answer 1

Stellen Sie sich vor, Sie haben den harmonischen Oszillator

\begin{matrix} (1) & H (Q, P) = \frac{P^{2}}{2} + \frac{Q^{2}}{2} \end{matrix}

$H(q, p) = \frac{p^2}{2} + \frac{q^2}{2} \tag{1}$

Im Phasenraum werden die von einer Lösung von Gl. (1) ist

A = π \times \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 π

$A = \pi\times\sqrt{2}\times \sqrt{2} = 2\pi$

Für diese Umlaufbahn ist die Aktion

J = \frac{1}{2 π} \oint D Q P = \frac{1}{2 π} A = 1

$J = \frac{1}{2\pi}\oint {\rm d}q\; p = \frac{1}{2\pi}A = 1$

Das ist der Grund hinter dem „ $2\pi$ ", aber es ist absolut nicht erforderlich. Die Aktion $J$ hat die gleiche Bedeutung, auch wenn dieser Faktor entfernt wird

Aktionswinkelkoordinaten

Phy09

AccidentalFourierTransform

Phy09

Phy09

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Höhlenmensch

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