Was sind einige Mechanikbeispiele mit einer global nicht generischen symplekischen Struktur?

Phasenräume, die keine Kotangensbündel sind, können in mechanischen Systemen mit Phasenraumbeschränkungen realisiert werden. Der von Arnold gegebene Phasenraum: die zwei Sphären$S^2$kann mechanisch als reduzierte Dynamik einer Energiehyperfläche eines zweidimensionalen isotropen harmonischen Oszillators realisiert werden:

$|p_1^2|+|p_2^2|+|q_1^2|+|q_2^2| = E$

Wir beobachten, dass der Hamiltonoperator eine konstante Rotationsgeschwindigkeit im erzeugt$(p,q)$Flugzeuge, nämlich:

$(p_i(t)+iq_i(t)) = exp(-iE_it) (p_i(0)+iq_i(0))$

Daher können wir uns dafür entscheiden, das System aus der Sicht eines "rotierenden Systems im Phasenraum" zu betrachten, in dem der Vektor in der$(p_1, q_1)$Ebene ist immer in Richtung von$q_1$. Das können wir natürlich nicht auf beiden Ebenen, weil wir nur einen Freiheitsgrad haben. Somit bleibt uns übrig:

$|p_2^2|+|q_1^2|+|q_2^2| = E$,

das ist nur die Gleichung einer Zwei-Sphäre. Somit liegt die reduzierte Dynamik einer Konstantenergie-Hyperfläche auf einer Zwei-Sphäre.

Die symplektische Form muss proportional zur Fläche der Kugel sein, da sie die Volumenform der Kugel ist und eine Zwei-Kugel-Form nur eine Volumenform hat.

Dieser Ansatz gibt uns einen sehr großen Bonus bei der Quantisierung. Es ist bekannt, dass wir aus der Quantisierung einer Kugel eine Spinquantisierung erhalten. Aus Sicht des isotropen Oszillators z$E = 2j \hbar$, ($j$halbganzzahlig ist), entspricht diese Quantisierung folgenden Energien der einzelnen Oszillatoren:$(2j, 0), (2j-1, 1), .,.,., (0,2j)$. Wie man sieht, gibt es genau (2j+1) Zustände wie im Spinsystem.

Die vollständige Quantisierungstheorie erlaubt es, die entsprechenden Wellenfunktionen auch in den Koordinaten der beiden Sphären zu schreiben. Somit haben wir den isotropen Oszillator tatsächlich unter Verwendung von Spinquantisierung quantisiert.

Die Äquivalenz dieses Verfahrens zur Standardquantisierung des isotropen harmonischen Oszillators ist ein sehr gefeiertes Theorem von Guillemin und Sternberg mit dem Namen "Quantization Commutes with Reduction". Tatsächlich ist dies das Prinzip, das wir anwenden, wenn wir Eichtheorien quantisieren (obwohl es keinen formalen Beweis für den unendlichdimensionalen Fall gibt). Im Netz findet man zahlreiche Arbeiten zu diesem Thema.

Im Allgemeinen liefern koadjungierte Bahnen einer Lie-Gruppe wichtige Beispiele für globale symplektische Mannigfaltigkeiten. Im Allgemeinen erhält man solche Systeme durch symplektische Reduktion aus einer grundlegenderen Beschreibung.

Beispielsweise ist der Kreisel konstant modelliert$J^2$auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit$S^2$das ist eine koadjungierte Umlaufbahn der Rotationsgruppe$SO(3)$. Es wird durch symplektische Reduktion aus der erhalten$N$-Teilchenmodell eines starren Körpers. (Wenn$J^2$nicht fest genommen wird, braucht man eine allgemeinere Beschreibung in Form einer 3-dimensionalen Poisson-Mannigfaltigkeit.)

Es gibt viele fortschrittlichere solcher Modelle. Siehe das Buch Mechanics and Symmetry von Marsden und Ratiu.

Generell ist die Hamilton-Dynamik in Poisson-Algebren nicht nur ein mathematisches Spiel, sondern auch wichtig für Anwendungen. Beispielsweise benötigt die Hamiltonsche Beschreibung realistischer Flüssigkeiten eine unendlich dimensionale Poisson-Mannigfaltigkeit. Für die Euler-Gleichung siehe z. B.
PJ Morrison, Hamiltonian description of the ideal fluid, Reviews of Modern Physics 70 (1998), 467.
http://www.ph.utexas.edu/~morrison/98RMP_morrison.pdf

Jede zweidimensionale geschlossene orientierbare Oberfläche kann die Struktur einer symplektischen Mannigfaltigkeit haben (Sie können Ihre symplektische Form gleich der Volumenform setzen). Darüber hinaus wird es "nicht trivial" in dem Sinne sein, dass es sich von einem Kotangensbündel einer anderen Mannigfaltigkeit unterscheidet. Sobald Ihnen eine symplektische Mannigfaltigkeit gegeben ist, können Sie immer ein klassisches mechanisches System darauf definieren, indem Sie eine Hamilton-Funktion einführen und entsprechende Zeitentwicklungsgleichungen schreiben.

Ein explizites Beispiel ist der Torus, der aus dem Phasenraum erhalten werden kann$R^2$eines einzelnen Teilchens durch folgende Identifikationen von Ort und Impuls:

$x+L_1=x$

$p+L_2=p$

Also jetzt irgendeine Funktion$H(x,p)$was periodisch ist$x$Und$p$mit Perioden$L_1$Und$L_2$können jeweils als Hamilton-Funktion auf dem Torus dienen.