Die Inspiration für die symplektische Geometrie kam von der Hamiltonschen Mechanik. Ich frage mich jedoch, wie eng die Verbindungen zwischen beliebigen symplektischen Mannigfaltigkeiten und realen physikalischen Systemen sind.
Insbesondere verstehe ich, dass die symplektischen Mannigfaltigkeiten, die normalerweise für Physiker von Interesse sind, kotangente Bündel von Konfigurationsräumen sind (aber ich bin Mathematiker, also bitte korrigieren Sie mich hier, wenn dies nicht korrekt ist). Allerdings ist nicht jede symplektische Mannigfaltigkeit ein Kotangensbündel (z. B. die 2-Sphäre oder der Torus).
Frage: Für jede gegebene symplektische Mannigfaltigkeit , gibt es ein klassisches mechanisches System, das hat als Phasenraum?
Spezielle Beispiele von symplektischen Mannigfaltigkeiten nichtkotangenter Bündel, die realen mechanischen Systemen entsprechen, wären ebenfalls nützlich.
Es gibt viele Beispiele für singuläre Phasenräume mechanischer Systeme, bei denen die Möglichkeit des Lockings besteht, das heißt, dass in bestimmten Bereichen des Konfigurationsraums nicht alle Freiheitsgrade zur Verfügung stehen. Diese Räume sind nicht einmal Mannigfaltigkeiten, geschweige denn Kotangensbündel, obwohl sie lokal Kotangensbündel sind (wie alle symplektischen Mannigfaltigkeiten). Die Dynamik auf ihnen ist ziemlich interessant. Sie könnten beispielsweise fragen, ob sie thermodynamisch wahrscheinlich sperren oder entsperren.
ist der Phasenraum eines mechanischen Systems, wenn wir ein ausreichend regelmäßiges Skalarfeld finden können An . Denn falls vorhanden, können wir den zugehörigen Hamiltonschen Fluss über definieren
Das Problem ist also nun, ob die symplektische Mannigfaltigkeit gegeben ist wir können immer mindestens ein nichttriviales differenzierbares Skalarfeld finden, das darauf definiert ist, um als Hamiltonoperator zu dienen.
ACuriousMind
QMechaniker
wandernder Mathematiker