Formulierung eines Wirkungsprinzips in einem allgemeinen Phasenraum (kein Kotangensbündel)

Question

Formulierung eines Wirkungsprinzips in einem allgemeinen Phasenraum (kein Kotangensbündel)

Aktion
Physik
Phasenraum
Differentialgeometrie
Hamiltonscher Formalismus
Variationsprinzip

Quantenpeitsche

Wenn wir von der physikalischen Seite kommen, wird der Hamiltonsche Formalismus normalerweise über verallgemeinerte Koordinaten eingeführt (die nur eine Sammlung von Zahlen sind, die in einen Vektor ( $\vec{q}$ ) und der lagrangesche Formalismus. Die Legendre-Transformation der Lagrange-Funktion ergibt die Hamilton-Funktion und so weiter.

In dieser Formulierung sind die kanonischen Bewegungsgleichungen

\begin{aligned} \dot{\vec{Q}} = \frac{\partial H}{\partial P} \\ \dot{\vec{P}} = - \frac{\partial H}{\partial Q} \end{aligned}

$\begin{align} \dot{\vec{q}} = \frac{\partial H}{\partial p} \\ \dot{\vec{p}} = -\frac{\partial H}{\partial q} \end{align}$ aus einem Handlungsprinzip folgen. Die Aktion

\begin{aligned} \int D T (\dot{\vec{Q}} \cdot \vec{P} - H (\vec{Q}, \vec{P}, T)) \end{aligned}

$\begin{align} \int dt~\left( \dot{\vec{q}} \cdot\vec{p} - H(\vec{q}, \vec{p}, t)\right) \end{align}$ stationär in Bezug auf Variationen mit ist

\vec{q} (t_{2})

$\vec{q}(t_2)$ Und

\vec{q} (t_{1})

$\vec{q}(t_1)$ Fest. Jetzt habe ich weitere mathematische Formulierungen gelesen, die das Konzept der Mannigfaltigkeiten verwenden. In einigen wird der Phasenraum als Kotantenraum über dem Konfigurationsraum eingeführt, was bedeutet, dass

\vec{q}

$\vec{q}$ now ist ein Satz von Koordinaten für einen Punkt im Konfigurationsraum Q (der eine Mannigfaltigkeit ist),

\dot{\vec{q}}

$\dot{\vec{q}}$ ist ein Element des Tangentialraums

T_{\vec{q}} Q

$T_{\vec{q}}Q$ , Und

\vec{p}

$\vec{p}$ ist ein Element des dualen Raums zu diesem Tangentialraum. Bis hierher ist es kein Problem, die oben genannte Aktion auf die gleiche Weise aufzuschreiben.

\dot{\vec{q}} \vec{p}

$\dot{\vec{q}}\vec{p}$ now ist kein Skalarprodukt mehr, sondern die Anwendung von

\vec{p}

$\vec{p}$ Zu

\dot{\vec{q}}

$\dot{\vec{q}}$ , die einer reellen Zahl zugeordnet ist (und die durchaus Sinn macht).

Meine Frage ist nun: Können wir mit der Wirkungsformulierung für Fälle mithalten, in denen der Phasenraum (möglicherweise) kein Kotangensraum mehr ist? Wenn es sich zum Beispiel nur um einen geradedimensionalen Raum handelt, der mit einer symplektischen Form ausgestattet ist, können wir dann irgendwie noch eine mathematisch sinnvolle Handlung aufschreiben?

Oder ist meine Frage nicht notwendig, weil jeder in der Physik vorkommende Begriff des Phasenraums den Phasenraum als Kotangentialraum verwendet?

Antworten (2)

Formulierung eines Wirkungsprinzips in einem allgemeinen Phasenraum (kein Kotangensbündel)

QMechaniker · Answer 1

Gegeben sei a $2n$ -dimensionale symplektische Mannigfaltigkeit $(M,\omega)$ ,
$\begin{matrix} (1) & D ω = 0 \end{matrix}$ $\mathrm{d}\omega~=~0 \tag{1}$ mit global definierter Hamilton-Funktion $H: M \to \mathbb{R}$ . (Nehmen wir der Einfachheit halber eine Punktmechanik ohne explizite Zeitabhängigkeit an. Die Konstruktion lässt sich auf die Feldtheorie verallgemeinern.)
Lokal in einer kontrahierbaren Nachbarschaft mit offenen Koordinaten $U\subseteq M$ es existiert eine symplektische Potential-1-Form
$\begin{matrix} (2) & ϑ = \sum_{ICH = 1}^{2 N} ϑ_{ICH} D z^{ICH} \in Γ (T^{*} M |_{U}), \end{matrix}$ $\vartheta ~=~\sum_{I=1}^{2n}\vartheta_I~\mathrm{d}z^I ~\in~ \Gamma(T^{\ast}M|_U),\tag{2}$ so dass $\begin{matrix} (3) & ω |_{U} = D ϑ . \end{matrix}$ $\omega|_U ~=~\mathrm{d}\vartheta .\tag{3}$
Weg gegeben $\gamma \subset U$ . Definieren Sie die lokale Hamilton-Aktion
$\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} S_{U} [γ] := & \int_{γ} (ϑ - H D T) \\ = & \int_{T_{ich}}^{T_{F}} D T (\sum_{ICH = 1}^{2 N} ϑ_{ICH} {\dot{z}}^{ICH} - H) . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} S_U[\gamma]~:=~&\int_{\gamma} \left( \vartheta - H ~\mathrm{d}t\right)\cr ~=~&\int_{t_i}^{t_f}\! \mathrm{d}t\left( \sum_{I=1}^{2n}\vartheta_I~\dot{z}^I -H\right). \end{align}\tag{4}$ Man kann zeigen, dass die entsprechenden Euler-Lagrange(EL)-Gl. sind genau die Hamilton-Gleichungen. $\begin{matrix} (5) & {\dot{z}}^{ICH} = {z^{ICH}, H} . \end{matrix}$ $\dot{z}^I~=~\{z^I,H\} .\tag{5}$ Hier ist der global definierte Poisson-Bivektor die Umkehrung der symplektischen 2-Form.
Über eine garbentheoretische Konstruktion ist es möglich, die lokale Aktion (4) zu einer sogenannten Wu-Yang-Aktion zu globalisieren $M$ . Dies wird z. B. in Lit. erläutert. 1.

Verweise:

ES Fradkin & V. Ya. Linetsky, BFV Ansatz zur geometrischen Quantisierung, Nucl. Phys. B431 (1994) 569 ; Abschnitt 3.3.

Ryan Thorngren · Answer 2

Schreiben wir es anders:

L = θ - H,

$L = \theta - H,$

Wo $\theta(p,q)$ eine 1-Form ist, so dass $d\theta = \omega$ , die symplektische Form. Dies wird als Liouville-Form bezeichnet. Für ein Teilchen auf der Linie ist es $\theta = pdq$ , $d\theta = dp dq$ . Auf einen kompakten Krümmer können wir nicht eingehen $\theta$ global definiert werden, aber es ist immer noch möglich, die Aktion durchzuführen

S = \int L = \int θ - \int H

$S = \int L = \int \theta - \int H$

wohldefiniertes wenn $\theta$ ist eine Verbindung 1-Form. Jetzt muss man eine Eichung auswählen, was im Wesentlichen eine Überdeckung Ihrer symplektischen Mannigfaltigkeit durch Kotangensräume bedeutet, und den Überblick behalten, damit alles eichinvariant ist. In der Tat, $L$ wird nicht eichinvariant sein, sondern seine Holonomie $S$ wird, und so kann man immer noch Euler-Lagrange-Gleichungen formulieren usw.

Übrigens, in der Quantenmechanik, $\theta$ wird benötigt, um eine Verbindung auf a zu sein $U(1)$ Bündel, was zur Quantisierung der Integrale von führt $\omega$ über geschlossene Flächen.

Sie sollten sich dieses Buch von V. Arnold mit dem Titel Mathematische Methoden der klassischen Mechanik (und natürlich auch alle anderen seiner Bücher :) ansehen.

Formulierung eines Wirkungsprinzips in einem allgemeinen Phasenraum (kein Kotangensbündel)

Quantenpeitsche

Antworten (2)

QMechaniker

Ryan Thorngren

Quantenphasenraum

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