Der Volumensatz von Liouville in der Sprache der Differentialformen

Ich werde meine Frage hauptsächlich in Worte fassen. Normalerweise finde ich den Volumensatz von Liouville in zwei Formen:

  1. Einfacher Weg (ohne Differentialformensprache): Phasenraumvolumen bleibt unter Hamiltonscher Dynamik erhalten. Nennen wir dieses Phasenraumvolumen das „übliche Volumen“.

  2. Ausgefeilter Weg (in der Sprache der Differentialformen): Die Volumen-2-Form ändert sich nicht mit dem Hamilton-Fluss.

Jetzt habe ich den Eindruck, dass die Volumen-2-Form, wenn sie auf Verschiebungsvektoren einwirkt, das „übliche Volumen“ ergibt und daher die Volumen-2-Form nicht dasselbe ist wie das „übliche Volumen“. Sind die beiden obigen Möglichkeiten, den Satz von Liouville zu formulieren, nicht äquivalent? Die erste spricht davon, dass die „übliche Lautstärke“ unverändert bleibt, und die zweite spricht davon, dass die Form der Lautstärke 2 unverändert bleibt. Bitte helfen Sie mir zu sehen, wie diese beiden Aussagen des Satzes von Liouville äquivalent sind.

Haben Sie das Buch von Vladimir Arnol'd gelesen? An diesem Punkt sollte es ansetzen.
Die Verwirrung rührte tatsächlich von der Lektüre von Arnolds Buch her.

Antworten (1)

Die symplektische 2-Form ist ω und für ein 2 N -dimensionaler Phasenraum ist das Phasenraumvolumen Ω = ω N / N ! .
Für ω = ∑ D P ∧ D Q das ist Ω = ± D N P D N Q .

Liouville sagt das in einem Hamiltonschen Fluss v Wo

D H = − ich v ω
wir haben das die Lie-Ableitung L v ω = 0 . Dies folgt aus der infinitesimalen Homotopieformel
L v ω = ( D ich v + ich v D ) ω
und die Anforderung, dass D ω = 0 . Die übliche Form von Liouville (Volumen des erhaltenen Phasenraums) ist L v Ω = 0 , Aber L v ist eine Ableitung, also
L v ω N = N ω N − 1 ( L v ω ) = 0.
Somit impliziert die Zwei-Form-Angabe die 2 N -Formular Volumenangabe.

Der Volumensatz von Liouville in der Sprache der Differentialformen
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