Kann jeder Symplektomorphismus (1 Definition der kanonischen Transformation) durch den Fluss eines Vektorfeldes dargestellt werden?

Question

Kann jeder Symplektomorphismus (1 Definition der kanonischen Transformation) durch den Fluss eines Vektorfeldes dargestellt werden?

Quantenpeitsche

Für diese Frage werde ich die Definition verwenden, dass eine kanonische Transformation eine Karte ist $T(q,p)$ vom Phasenraum auf sich selbst, was die symplektische 2-Form-Invariante belässt (was die Definition eines Symplektomorphismus ist). Ich weiß, dass, wenn die Topologie des Phasenraums in Ordnung ist (was bedeutet, dass es keine Löcher gibt und jeder geschlossene Pfad zu einem Punkt gezeichnet werden kann), dann jedes Vektorfeld $V(q,p)$ , mit einem Fluss $F(q, p, \alpha)$ mit $\frac{\partial F}{\partial \alpha} = V(q,p)$ Und $F(q,p, 0) = (q, p)$ kann durch eine Funktion auf dem Phasenraum erzeugt werden.

Was ich jetzt wissen möchte, ist, ob jeder Symplektomorphismus (kein Fluss, nur ein Symplektomorphismus) $T(q,p)$ kann als Fluss gesehen werden, das heißt, für jedes T finde ich einen Fluss $F$ so dass $T(q,p) = F(q, p, \alpha)$ für einen bestimmten Wert von $\alpha$ .

Nehmen Sie zum Beispiel den Symplektomorphismus $T(q, p) = (p, -q)$ . Diesen Symplektomorphismus könnte ich mit dem Flow darstellen

F (Q, P, a) = (C Ö S (a) Q + S ich N (a) P, - S ich N (a) Q + C Ö S (a) P)

$F(q, p, \alpha) = (cos(\alpha) q + sin (\alpha) p , -sin(\alpha) q + cos (\alpha) p)$ Dann würde es das halten

F (q, p, \frac{π}{2}) = T (q, p)

$F(q, p, \frac{\pi}{2}) = T(q, p)$ . Stimmt das generell? finde ich einen solchen Fluss für jeden Symplektomorphismus, den ich mir ansehen möchte?

Mir ist kein Gegenbeispiel eingefallen, aber ich weiß auch nicht, wie ich es zeigen soll.

Antworten (1)

Kann jeder Symplektomorphismus (1 Definition der kanonischen Transformation) durch den Fluss eines Vektorfeldes dargestellt werden?

QMechaniker · Answer 1

OP stellt gute Fragen.

Lassen Sie uns zunächst erwähnen, dass es eine bijektive Entsprechung zwischen 1-Parameter- symplektischen Flüssen und parameterunabhängigen gibt $^1$ symplektische Vektorfelder . Letztere sind per Definition Vektorfelder $X\in \Gamma(TM)$ die die symplektische 2-Form bewahren ${\cal L}_X\omega=0$ .

OP fragt im Wesentlichen Folgendes (einige davon in früheren Versionen der Frage).

Ist die Symplektomorphismengruppe wegverbunden?

Antwort: Nicht unbedingt, es könnten topologische Hindernisse vorliegen.

2D-Gegenbeispiel: Lassen Sie den Phasenraum $M=\mathbb{S}^2$ sei die 2-Sphäre, die mit der standardmäßigen symplektischen 2-Form ausgestattet ist $\omega$ . Die zweite Homotopiegruppe $\pi_2(\mathbb{S}^2)\cong\mathbb{Z}$ ist nicht trivial. $\Box$

Ist irgendein Symplektomorphismus das 1-fache eines 1-parametrigen symplektischen Flusses, dh ist es das Exponential? $\exp(X)$ eines symplektischen Vektorfeldes $X$ ?

Antwort: Nicht unbedingt, es könnten topologische Hindernisse vorliegen.

Vermutetes 2D-Gegenbeispiel: Betrachten Sie den Phasenraum $M=\mathbb{R}^2$ mit der symplektischen 2-Form $\omega =\mathrm{d}p\wedge \mathrm{d}q$ . Betrachten Sie die kanonische Transformation

[\begin{matrix} Q \\ P \end{matrix}] = A [\begin{matrix} Q \\ P \end{matrix}], A := [\begin{matrix} - 2 & 1 \\ 3 & - 2 \end{matrix}] \in S P (2, R) = S L (2, R) .

$\begin{bmatrix} Q \cr P \end{bmatrix} ~=~ A\begin{bmatrix} q \cr p \end{bmatrix}, \qquad A~:=~\begin{bmatrix} -2 & 1\cr 3 & -2 \end{bmatrix}~\in~Sp(2,\mathbb{R})~=~SL(2,\mathbb{R}).$

Wir behaupten, dass dieser Symplektomorphismus nicht durch einen symplektischen Fluss erzeugt werden kann. Eine verräterische Tatsache ist, dass die Matrix $A$ hat keine Quadratwurzel.

Ein weiterer Hinweis ist, dass dieser Symplektomorphismus nur den Ursprung als Fixpunkt hat. Dies bedeutet, dass ein symplektisches Vektorfeld $X$ (für eine Strömung, falls vorhanden) kann höchstens am Ursprung verschwinden.

Interessanterweise kann man diesen Symplektomorphismus als kanonische Transformation mit einer Typ-2-Erzeugungsfunktion schreiben

F_{2} (Q, P) = - \frac{1}{2} Q P + \frac{3}{4} Q^{2} - \frac{1}{4} P^{2} .

$F_2(q,P)~=~-\frac{1}{2}qP +\frac{3}{4}q^2 - \frac{1}{4}P^2.$

Wir vermuten jedoch, dass eine 1-Parameter-Deformation aus der Identität $F_2(q,P)=qP$ muss immer durch einen singulären Punkt gehen.

Siehe auch diesen verwandten Math.SE-Beitrag. $\Box$

Ist ein beliebiges symplektisches Vektorfeld $X\in \Gamma(TM)$ ein Hamiltonsches Vektorfeld ?

Antwort: Nicht unbedingt, es könnten topologische Hindernisse vorliegen. Tatsächlich wird dies durch die erste Poisson-Kohomologiegruppe gemessen .

2D-Gegenbeispiel: Betrachten Sie den Phasenraum $M=\mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\}$ mit der symplektischen 2-Form $\omega =\mathrm{d}p\wedge \mathrm{d}q$ . Man kann überprüfen, ob das Vektorfeld

X = \frac{Q}{Q^{2} + P^{2}} \frac{\partial}{\partial Q} + \frac{P}{Q^{2} + P^{2}} \frac{\partial}{\partial P}

$X=\frac{q}{q^2+p^2}\frac{\partial}{\partial q} +\frac{p}{q^2+p^2}\frac{\partial}{\partial p}$ ist symplektisch, aber kein hamiltonsches Vektorfeld. Das Problem ist, dass der Kandidat

a r g (q + i p)

${\rm arg}(q+ip)$ denn der Hamilton-Generator ist mehrwertig und daher nicht global wohldefiniert.

Siehe auch zB this & this Related Phys.SE posts. $\Box$

--

$^1$ Beachten Sie, dass es einen Strömungsbegriff gibt , der einem parameterabhängigen Vektorfeld entspricht. Wir werden dies in dieser Antwort nicht berücksichtigen. Solche Flüsse werden zB in diesem verwandten MO.SE-Beitrag verwendet.

Anmerkungen für später: (Das Folgende sind nur weitere Spekulationen/Vermutungen ohne Beweise.) Betrachten Sie Symplektomorphismen der Form $Q := F (Q), P := P / F^{'} (Q),$ $Q~:=~ f(q),\qquad P ~:=~p/f^{\prime}(q),$ auf dem Kotangensbündel $M=T^{\ast}\mathbb{S}^1$ mit der symplektischen 2-Form $\omega =\mathrm{d}p\wedge \mathrm{d}q$ . Dann die Exponentialkarte $\exp:{\rm Vect}(M,\omega)\to {\rm Symp}(M,\omega)$ ist nicht einmal lokal surjektiv beliebig nahe an der Identität.
Kanonische Transformationen, die Paritätstransformationen in ungeraden räumlichen Dimensionen entsprechen, scheinen eher triviale Gegenbeispiele zu liefern.
Der Beitrag, auf den Sie sich zu parameterabhängigen Strömungen bezogen haben, macht nur Aussagen zu einem zweidimensionalen Phasenraum. Wenn Sie in Ihrer Antwort parameterabhängige Flüsse berücksichtigen, wäre die Antwort auf die Frage, ob man immer einen parameterabhängigen Fluss finden könnte, der eine gegebene kanonische Transformation beschreibt, immer noch nein?
Ein Fluss, der einem parameterabhängigen Vektorfeld entspricht, ist immer noch eine pfadverbundene Familie von Symplektomorphismen. Gegenbeispiel 1 zeigt, dass 2 Symplektomorphismen nicht notwendigerweise wegverbunden sind.
@Dexter Kim: Wenn wir uns identifizieren $z=q+ip$ , dann eine Paritätstransformation $Q=-q$ kann über den Rotationsfluss von OP erreicht werden $Z(z,\alpha)=e^{i\alpha}z$ mit $\alpha=\pi$ .

Kann jeder Symplektomorphismus (1 Definition der kanonischen Transformation) durch den Fluss eines Vektorfeldes dargestellt werden?

Quantenpeitsche

Antworten (1)

QMechaniker

Quantenpeitsche

QMechaniker

Dexter Kim

Quantenpeitsche

QMechaniker

QMechaniker

Der Volumensatz von Liouville in der Sprache der Differentialformen

Zwei erste Integrale eines Hamiltonschen Körpers XHXHX_{H} sind unabhängig voneinander det[∂Fi∂pk]≠0det[∂Fi∂pk]≠0\det \left[ \frac{\partial F_{i}}{\partial p_{ k}} \right] \neq 0

Gibt die Hamilton-Mechanik einen allgemeinen phasenraumerhaltenden Fluss an?

Hamiltonscher Fluss?

Warum ist der Phasenraum eines einfachen Pendels auf einem Zylinder definiert und nicht auf T2T2\mathbb{T}^{2}?

Erhaltungsladungen/Bewegungskonstanten auf und außerhalb der Schale

Satz von Liouville in sphärischen Koordinaten

Eindimensionales System ein Hamiltonsches System?

Gibt es eine Beziehung zwischen Poisson-Klammern und der Jacobi-Matrix?

Was sind einige Mechanikbeispiele mit einer global nicht generischen symplekischen Struktur?