Zwei erste Integrale eines Hamiltonschen Körpers XHXHX_{H} sind unabhängig voneinander det[∂Fi∂pk]≠0det[∂Fi∂pk]≠0\det \left[ \frac{\partial F_{i}}{\partial p_{ k}} \right] \neq 0

In diesem Zusammenhang bedeutet unabhängig , dass (das ist die Definition von unabhängig)

wenn Sie zwei beliebige Werte festlegen$f_1$Und$f_2$im Bereich der ersten Integrale die Menge

$$S:= \{x \in M \:|\: F_i(x)=f_i, i=1,2 \}$$ im$2n$-dimensionaler Phasenraum$M$ist eine eingebettete Untermannigfaltigkeit der Dimension$2n-2$.

Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Unabhängigkeit ist dies

die Jacobi-Matrix (in einem beliebig festgelegten Koordinatensystem auf$M$nicht unbedingt kanonisch)$\left[\frac{\partial F_i}{\partial x^k}\right]_{i=1,2\: k= 1,\ldots, 2n}$Rang hat$2$An$S$.

Mit anderen Worten

Die$\mathbb R^{2n}$Vektoren$(\frac{\partial F_1}{\partial x^{1}}, \cdots \frac{\partial F_1}{\partial x^{2n}})^t$Und$(\frac{\partial F_2}{\partial x^{1}}, \cdots \frac{\partial F_2}{\partial x^{2n}})^t$muss linear unabhängig von sein$S$.

Diese letzte Bedingung hat nicht viel mit einer Determinante zu tun, da sich die Determinantenfunktion mit ihr befasst$2n \times 2n$Matrizen, während wir hier a haben$2 \times 2n$Matrix.

Wie @AccidentalFourierTransform vorgeschlagen hat (in einer jetzt entfernten Diskussion), hängt diese Bedingung mit der anderen Bedingung zusammen$\{F_1, F_2\} \neq 0$An$S$.

Tatsächlich impliziert diese Bedingung die Unabhängigkeit von$F_1$Und$F_2$. Der Beweis ist einfach:

$$0 \neq \{F_1, F_2\} = Sym(dF_1,dF_2)$$ Wo $Sym(dF_1,dF_2)$ist die symplektische Form, die bilinear und antisymmetrisch ist und daher verschwindet, wenn $dF_1$, $dF_2$sind linear abhängig.

Für$n>1$, das kann passieren$dF_1$,$dF_2$sind aber linear unabhängig$Sym(dF_1,dF_2)=0$, also sind die Bedingungen nicht äquivalent und die der Poisson-Klammern ist stärker als die der Jacobi-Matrix if$n>1$.

Sie sind jedoch gleichwertig z$n=1$und das hier angegebene Ergebnis gilt in diesem Fall Beweis einer Eigenschaft der Poisson-Klammer .