Beweis einer Eigenschaft der Poisson-Klammer

(Schönes Ergebnis. Ich wusste es nicht.)

Die richtige Aussage ist die folgende.

Vorschlag . Nehme an, dass$f=f(q,p)$Und$g=g(q,p)$sind ein Paar glatter Funktionen, die auf einer offenen Menge definiert sind$\Omega \subset \mathbb R^2$so dass$\{f,g\}=0$darauf. Dann, in einer Nachbarschaft von jedem$(p_0,q_0)\in \Omega$wir können beides schreiben$f(p,q) = F(g(p,q))$oder$g(p,q) = G(f(p,q))$für eine reibungslose Funktion$F=F(x)$oder$G=G(x)$abhängig von der besagten Nachbarschaft.

Beweis . Die These ist wahr, wenn entweder$f$oder$g$ist konstant um$(p_0,q_0)$seit$F$oder$G$kann in diesem Fall konstant gewählt werden. Nehmen wir also an, dass mindestens eine der Funktionen nicht konstant ist$g$. Wenn$g$nicht konstant ist, mindestens eine Ableitung von$\partial_p g|_{(q_0,p_0)}$Und$\partial_q g|_{(q_0,p_0)}$verschwindet nicht und verschwindet daher nicht in einer Nachbarschaft von$(q_0,p_0)$durch Kontinuität. Vermuten$\partial_q g|_{(q_0,p_0)}\neq 0$(Die restlichen Fälle sind ähnlich). Der Satz von Dini versichert, dass es möglich ist zu schreiben$q= q(g,p)$in einer Nachbarschaft des besagten Punktes, wo$q= q(g,p)$ist glatt u$g$Und$p$sind unabhängige Variablen. Deshalb$\{f,g\}=0$kann umformuliert werden als

$$\frac{\partial f}{\partial p} = \frac{\partial f}{\partial q} \frac{\frac{\partial g}{\partial p} }{\frac{\partial g}{\partial q}} = -\frac{\partial f}{\partial q} \frac{\partial q}{\partial p}\tag{1}\:$$ (Ich benutzte $g= g(q(g,p),p)$, also die Summe nehmen $p$Ableitung beider Seiten seit $p$Und $g$sind unabhängige Variablen: $0 = \frac{\partial g}{\partial q} \frac{\partial q}{\partial p}+ \frac{\partial g}{\partial p}$und deshalb $-\frac{\partial g}{\partial p}/ \frac{\partial g}{\partial q} = \frac{\partial q}{\partial p}$). Betrachten Sie als nächstes die zusammengesetzte Karte $$f^*(g,p) := f(q(g,p),p)\tag{2}$$ Berechnen wir die $p$-Ableitung unter Berücksichtigung von (1): $$\frac{\partial f^*}{\partial p}= \frac{\partial f}{\partial p} + \frac{\partial f}{\partial q} \frac{\partial q}{\partial p} = -\frac{\partial f}{\partial q} \frac{\partial q}{\partial p} + \frac{\partial f}{\partial q} \frac{\partial q}{\partial p} =0\:.$$ So $f^*$in (2) hängt nicht ab $p$, als Konsequenz $$f(q,p) = f^*(g(q,p))\:,$$ wie gewünscht, wenn definiert $F:= f^*$. QED