Hamiltonoperator aus einer Differentialgleichung

In meinem Differentialgleichungskurs wird ein Beispiel aus dem Lotka-Volterra-Gleichungssystem gegeben:

X ' = X − X j

(1) j ' = − γ j + X j .

Dies wird dann durch die Substitution transformiert: Q = ln ⁡ X , P = ln ⁡ j .

Q ' = 1 − e P

(2) P ' = − γ + e Q .

Dann sagen sie ohne Erklärung, dass der Hamilton-Operator dann gleich ist:

(3) H ( P , Q ) = γ Q − e Q + P − e P

Wie wird dieser Hamiltonoperator abgeleitet?

Ist es möglich, dass sie zu Demonstrationszwecken willkürlich einen Hamiltonian wählen? Oder haben Sie zuvor einen Hamiltonian verwendet, für den sie die Koordinaten geändert haben?
Ja, das könnte durchaus möglich sein. Ich habe mich nur gefragt, ob man aus dem zweiten Satz von Differentialgleichungen den Hamilton-Operator ableiten kann.
Ich habe den fehlerhaften zweiten von (2) repariert. Wenn Sie den 1. durch den 2. von (2) teilen, sehen Sie, dass es sich lediglich um ein exaktes Differential handelt. D P ( 1 − e P ) + D Q ( γ − e Q ) , trivial zu einer Konstante integrierend: die LV-Invariante. Es oder eine Funktion davon ist also ein guter Kandidat für eine Hamiltonsche Funktion. Aber es funktioniert so gut selbst, also behalte es!

Antworten (1)

Dies wird in Teil II meiner Phys.SE-Antwort hier erklärt , was zeigt, dass ein 2D-System lokal immer eine Hamilton-Beschreibung hat.

Es stellt sich heraus, dass vor der nicht-kanonischen Transformation ( X , j ) → ( Q , P ) , aus dem ersten Paar von eoms (1) allein kann die Hamiltonsche und nicht-kanonische Poisson-Klammer abgeleitet werden als

H   =   γ ln ⁡ X − X + ln ⁡ j − j
Und
{ X , j } P B   =   X j ,
bzw. Als nächstes die kanonischen Koordinaten ( Q , P ) leicht bestimmt werden können.

Hamiltonoperator aus einer Differentialgleichung
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v