Poisson-Klammer des Drehimpulses und eine Skalarfunktion

Im Kontext der Hamiltonschen Mechanik versuche ich folgende Aussage zu demonstrieren:

Für jede Skalarfunktion F , ebenso wie das Skalarprodukt Q · P , die Poisson-Klammer mit den Komponenten des Drehimpulses verschwindet: [ L ich , F ] = 0

Mein Versuch

Für das Skalarprodukt Q · P , wobei der Ausdruck des Drehimpulses in Bezug auf das Levi-Civita-Symbol verwendet wird, L ich = ϵ ich R S Q R P S , kann ich sehen, dass die Aussage wahr ist:

[ L ich , Q J P J ] = ∂ L ich ∂ Q k Q J ∂ P J ∂ P k − ∂ L ich ∂ P k P J ∂ Q J ∂ Q k = Q J ∂ L ich ∂ Q J − P J ∂ L ich ∂ P J

= Q J ∂ ϵ ich R S Q R P S ∂ Q J − P J ∂ ϵ ich R S Q R P S ∂ P J = ϵ ich J S Q J P S − ϵ ich R S Q R P S = 0

Ich finde jedoch keinen Weg, dies für den Fall einer allgemeinen Skalarfunktion zu beweisen F . Wie könnte die Aussage begründet werden?

Es erscheint in einer meiner Klassenübungen. Eigentlich soll die Aussage stimmen, allerdings finde ich den Teil, der der Skalarfunktion entspricht, auch etwas seltsam
Ich habe zum Beispiel gesehen, dass diese Aussage verwendet wird, um dies im Fall eines Teilchens mit magnetischem Moment zu argumentieren μ ≡ γ L in einem Magnetfeld B , die Poisson-Klammer [ L , P 2 2 M ] ist Null.
Es ist das Quadrat des linearen Impulses, P 2 = P · P
So wie es aussieht ist die Aussage falsch. die Funktion F muss eine Skalarfunktion sein, die aus konstruiert ist P , Q nur .

Antworten (1)

Im Kontext der Hamiltonschen Mechanik, Poisson-Kommutierung mit L ich ist die Definition einer Skalarfunktion.

Im Allgemeinen ein Tensor T von Rang 2 J ist per Definition eine Funktion, die erfüllt

{ L ich , T A } = T ich A B T B
Wo T ich sind die Matrizen, die generiert werden S Ö ( 3 ) im 2 J + 1 dimensionale Darstellung. Ein Skalar ist J = 0 also die eindimensionale Darstellung, deren Erzeuger verschwinden, T ich = 0 . Also ein Skalar Poisson-kommutiert mit L ich , per definitionem ein Skalar zu sein.

Wenn Ihnen das nicht gefällt, müssen Sie sich eine alternative Definition einfallen lassen, ein Skalar zu sein. Wenn Sie es versuchen, werden Sie sich davon überzeugen, dass alle Versuche zu der Bedingung führen { L ich , T } = 0 auf die eine oder andere Weise, also gibt es wirklich keine gute alternative Definition. Der zugrunde liegende Grund ist, dass Skalar invariant unter Drehungen bedeutet, und L ich sind genau die Generatoren von Rotationen, implementiert über { L ich , ⋅ } , ein Skalar zu sein, wird also buchstäblich von diesem Operator vernichtet.

Also für jede nicht-vektorielle Funktion (sagen wir das Quadrat des linearen Impulses, P 2 , oder eine Kombination mit der Q koordinieren wie z Q 3 P 5 ), können wir versichern, dass es automatisch Poisson-kommutiert mit den Komponenten des Drehimpulses, L ich ?
@Invenietis Ich weiß nicht, was "nicht-vektorielle Funktion" bedeutet, und ich bin sicher, wenn Sie versuchen, eine genaue Definition zu finden, können Sie sich davon überzeugen, dass es keine andere gute Definition gibt als " eine Funktion, mit der Poisson kommutiert L ". Darf ich Sie einladen, zu versuchen, eine genaue Definition der "nicht-vektoriellen Funktion" zu finden?
(Aber wie auch immer, mehr zu deiner Frage: jede Funktion von Q ich , P ich das hängt von diesen Variablen nur durch die Kombinationen ab ∑ ich Q ich 2 , ∑ ich P ich 2 , ∑ ich Q ich P ich , wird mit Poisson pendeln L . Jede (analytische) Funktion, die von abhängt Q ich , P ich auf eine Weise, die nicht nur diese Kombinationen beinhaltet, wird nicht Poisson-kommutieren.)
Wenn A ≠ 0 ist ein konstanter Vektor, F ( X , P ) = A ⋅ P ist ein Skalar, aber unter Drehungen nicht unveränderlich ... Ich verstehe, dass Sie Funktionen von berücksichtigen X Und P nur, aber in der ursprünglichen Frage wird diese Einschränkung nicht angenommen. Ich denke, dass die ursprüngliche Frage mehrdeutig ist. Ihre richtige Antwort ist eigentlich der vorherige Kommentar.
(Addieren des Absolutwerts des Kreuzprodukts der betrachteten Vektoren zu den zulässigen Möglichkeiten.)
@ValterMoretti Dein F ist weder invariant unter Drehungen noch pendelt es mit L ich , macht es? Ich glaube { L → , A → ⋅ P → } = A → × P → ≠ 0 , oder habe ich die Rechnung vermasselt?
Ja, aber es ist eine Skalarfunktion .
@ValterMoretti Es ist ... nicht. Ein Skalar bedeutet nicht "eine Zahl". Die erste Komponente von P ich ist auch "eine Zahl", aber eindeutig kein Skalar. "Skalar" bedeutet "transformiert unter der trivialen Darstellung einer beliebigen Gruppe, die für das vorliegende Problem relevant ist". Hier bedeutet "skalar" Skalar unter O(3). Ihre Funktion ist kein Skalar unter O (3).
ja, wenn man den Begriff "Skalar" so interpretiert, ist die Antwort fast eine Tautologie.
Im Fall von F ( X , P ) = A ⋅ P oder gleichwertige 'skalare' Funktionen, ich denke, es ist auch wichtig zu sagen, dass diese unter der Rotationsgruppe invariant sind, wenn Sie dies tatsächlich in Betracht ziehen A als Vektor, was automatisch bedeuten würde, dass er nach unten transformiert Ö ( 3 ) , wodurch diese Funktion unter Rotationen invariant wird. Das einzige ist, dass in diesem Fall der Rotationsgenerator in ist A würde nicht durch die Komponenten von erzeugt werden L .
Poisson-Klammer des Drehimpulses und eine Skalarfunktion
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v