Poisson-Klammern und Drehimpulskomponenten

Question

Poisson-Klammern und Drehimpulskomponenten

Jane Kamden

Verwandte: Poisson-Klammern des Drehimpulses

Wenn Poisson-Klammern im Rahmen von Analytical Mechanics-Kursen gelehrt werden, werden häufig Beispiele gezeigt, die analoge Ergebnisse in QM vorwegnehmen. Ein solches Beispiel, das das von mir verwendete Buch ([1]) zeigt, ist, dass seit den Komponenten des Drehimpulsvektors $L$ der Beziehung gehorchen

\begin{matrix} (1) & [L_{ich}, L_{J}] = ϵ_{ich J k} L_{k}, \end{matrix}

$\displaystyle [L_i,L_j] = \epsilon_{ijk}L_k \tag{1},$

sie gehorchen offensichtlich nicht den kanonischen Variablenbeziehungen $[p_i,p_j] = 0$ und daher keine zwei Komponenten von $L$ können gleichzeitig als kanonische Variablen dienen. Das wird dann weiter gezeigt $L^2$ pendelt mit $L_i$ , sodass dieses Paar als kanonische Variablen verwendet werden kann. Ein analoges Ergebnis ist Standard-QM-Tarif über Vertauschungsbeziehungen und Beobachtung.

Ich habe anscheinend ein Gegenbeispiel gefunden. Wenn wir den Hamiltonian für ein freies Teilchen schreiben, indem wir mit dem Lagrangian in sphärischen Koordinaten beginnen $(r,\theta,\phi)$ , landen wir bei

H = \frac{{P_{R}}^{2}}{2 M} + \frac{{P_{θ}}^{2}}{2 M R^{2}} + \frac{{P_{ϕ}}^{2}}{2 M R^{2} {Sünde}^{2} (θ)}

$\displaystyle H=\frac{{p_r}^2}{2 m}+\frac{{p_\theta}^2}{2 m r^2}+\frac{{p_\phi}^2}{2 m r^2 \sin ^2(\theta )}$

mit verallgemeinerten Impulsen

P_{R} = M \dot{R}, P_{θ} = M R^{2} \dot{θ}, P_{ϕ} = M (R Sünde (θ))^{2} \dot{ϕ}

$\displaystyle p_r= m\dot{r},\quad p_\theta=m r^2 \dot{\theta},\quad p_\phi=m (r \sin (\theta))^2 \dot{\phi}$

An der Definition ist das leicht zu erkennen

P_{ϕ} = L_{z} Und P_{θ} = L_{X} .

$p_\phi=L_z\quad\text{and} \quad p_\theta= L_x.$ Das sieht nach einem Gegenbeispiel aus. Ich bin nicht durch eine kanonische Transformation zu diesem Hamiltonian gekommen, aber es ist ein "legaler" Hamiltonian und zwei der kanonischen Variablen / Impulse sind zwei Komponenten von

L

$L$ , was der obigen Behauptung widerspricht.

Als zusätzliches Dilemma zeigt das Buch, dass Poisson-Klammern kanonische Invarianten sind, dh unter kanonischen Transformationen erhalten bleiben, aber wenn ich berechnet habe $[L_x,L_z]$ In kartesischen Koordinaten habe ich das Ergebnis erhalten $[L_x,L_z]-L_y$ wie (1) vorschlägt, und wenn ich berechnet habe $[L_x,L_z]$ im Phasenraum der Kugelkoordinaten bekam ich das Ergebnis $[p_\theta,p_\phi]=0$ wie ich es von einem Paar kanonischer Variablen erwarten würde.

Diese Ergebnisse scheinen einander zu widersprechen. Was ist die Erklärung?

[1] Hamill, Patrick. "Student's Guide to Lagrangeians and Hamiltonians", p.130.

QMechaniker

Hinweis: Die korrekte Bezeichnung lautet

p_{ϕ} = L_{z}

$p_{\phi}=L_z$ Und

p_{θ}^{2} = {\vec{L}}^{2} - \frac{L_{z}^{2}}{\sin^{2} θ}

$p_{\theta}^2=\vec{L}^2-\frac{L_z^2}{\sin^2\theta}$ .

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Poisson-Klammern und Drehimpulskomponenten

Hinweis: Die korrekte Bezeichnung lautet $p_{\phi}=L_z$ Und $p_{\theta}^2=\vec{L}^2-\frac{L_z^2}{\sin^2\theta}$ .

Jane Kamden · Answer 1

Danke @Qmechanics, der Hinweis war alles was es brauchte.

Der Fehler in OP rührt von einer Fehlberechnung des Drehimpulsvektors her.

Wenn die Bewegung auf eine Ebene beschränkt ist, die senkrecht zu einer der kartesischen Koordinatenachsen steht (z $z$ ) hat der Drehimpulsvektor nur in der Richtung senkrecht zur Ebene ( $z$ ). Seine Größenordnung ist $L_z = m r^2 \dot{\theta}$ .

Wenn wir uns jedoch in den 3D-Raum bewegen, ist es falsch, jede Komponente von zu berechnen $L$ individuell, als ob die Bewegung "auf einmal" auf eine Ebene beschränkt wäre. Stattdessen müssen Sie die allgemeine Berechnung durchführen:

\begin{aligned} \vec{R} & = (R Sünde (θ) \cos (φ), R Sünde (θ) Sünde (φ), R \cos (θ)) \\ \dot{\vec{R}} & = (- R \dot{φ} Sünde (θ) Sünde (φ) + \dot{θ} R \cos (θ) \cos (φ) + \dot{R} Sünde (θ) \cos (φ), \\ \dot{R} Sünde (θ) Sünde (φ) + R \dot{φ} Sünde (θ) \cos (φ) + \dot{θ} R \cos (θ) Sünde (φ), \\ \dot{R} \cos (θ) - \dot{θ} R Sünde (θ)) \\ \vec{L} & = R \times (M \dot{\vec{R}}) \end{aligned}

$\begin{align*} \vec{r} &=(r \sin (\theta ) \cos (\varphi ),r \sin (\theta ) \sin (\varphi ),r \cos (\theta ) )\\ \dot{\vec{r}} &= ( -r \dot{\varphi } \sin (\theta ) \sin (\varphi )+\dot{\theta } r \cos (\theta ) \cos (\varphi )+\dot{r} \sin (\theta ) \cos (\varphi ), \\\quad&\dot{r} \sin (\theta ) \sin (\varphi )+r \dot{\varphi } \sin (\theta ) \cos (\varphi )+\dot{\theta } r \cos (\theta ) \sin (\varphi ), \\\quad &\dot{r} \cos (\theta )-\dot{\theta } r \sin (\theta ))\\ \vec{ L} &= r \times (m \dot{\vec{r}}) \end{align*}$ Das Ergebnis ist etwas haarig, aber das merkt man

L_{x} \neq m r^{2} \dot{θ}

$L_x \ne m r^2 \dot{\theta}$ und deshalb OP Aussage, dass

L_{x} = p_{θ}

$L_x = p_\theta$ ist falsch.

Glücklicherweise, $L^2$ (ein Skalar) hat eine freundliche Form:

L^{2} = M^{2} R^{4} ({\dot{φ}}^{2} {Sünde}^{2} (θ) + {\dot{θ}}^{2})

$\displaystyle L^2 =m^2 r^4 \left(\overset{.}{\varphi }^2 \sin ^2(\theta )+\overset{.}{\theta }^2\right)$ Die von @Qmechanic aufgezeigte Identität ist also leicht zu beweisen:

(P_{θ})^{2} = L^{2} - \frac{L_{z}^{2}}{{Sünde}^{2} (θ)}

$(p_\theta)^2 = L^2 - \frac{L_z^2}{\sin^2(\theta)}$

Daher sind in dem in OP angegebenen Hamilton-Operator die beiden konjugierten Impulse keine Komponenten von $\vec{L}$ (nur p_\phi ist), also die Kommutierungsrelationen für Komponenten von $L$ wird nicht verletzt. Die zwei Impulse $p_\theta,p_\phi$ sind jedoch kanonische Variablen und gehorchen daher den kanonischen Vertauschungsbeziehungen:

[P_{θ}, P_{ϕ}] = 0

$[p_\theta,p_\phi]=0$ wie sie sollten.

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Jane Kamden

QMechaniker

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Jane Kamden

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