Bedeutung der symplektischen Form in der klassischen Feldtheorie

Question

Bedeutung der symplektischen Form in der klassischen Feldtheorie

Physik
Phasenraum
Feldtheorie
Poisson-Klammern
Hamiltonscher Formalismus
Klassische-Feld-Theorie

Blazej

Ich versuche, die Bedeutung der Konstruktion zu verstehen, die mir im Feldtheorieunterricht präsentiert wurde. Lassen Sie mich zunächst kurz beschreiben und dann Fragen stellen.

Gegeben zwei Lösungen $\phi_1$ , $\phi_2$ der Skalarwellengleichung $( \Box + m^2 ) \phi_i =0,$ $i=1,2$ man kann einen Erhaltungsstrom definieren, gegeben durch

\begin{matrix} (1) & J [ϕ_{1}, ϕ_{2}] = ϕ_{1} \nabla ϕ_{2} - ϕ_{2} \nabla ϕ_{1}, \end{matrix}

$j[\phi_1, \phi_2] = \phi_1 \nabla \phi _2 - \phi_2 \nabla \phi_1, \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & \nabla \cdot J = 0 . \end{matrix}

$\nabla \cdot j =0 . \tag{2}$

Dies erlaubt es, eine symplektische Form im Lösungsraum zu konstruieren. Man wählt eine Cauchy-Fläche $\Sigma$ mit zukunftsgerichtetem Einheitsnormalenvektor $N$ und definiert

\begin{matrix} (3) & {ϕ_{1}, ϕ_{2}} = \int_{Σ} N \cdot J [ϕ_{1}, ϕ_{2}] D^{3} X . \end{matrix}

$\{ \phi_1 , \phi_2 \} = \int _{\Sigma} N \cdot j[\phi_1, \phi_2] d^3 x. \tag{3}$

Außerdem kann man das für jede Lösung zeigen $\phi$ man kann eine Funktion wählen $\rho$ so dass folgende Darstellung gilt:

\begin{matrix} (4) & \hat{ϕ} (k) = (2 π)^{3 / 2} \hat{D} (k) \hat{ρ} (k), \end{matrix}

$\hat{\phi}(k) = (2 \pi)^{3/2} \hat{D}(k) \hat{\rho}(k), \tag{4}$

wobei hat die Fourier-Transformation und bezeichnet $D$ ist die Pauli-Jordan-Verteilung, die erfüllt

\begin{matrix} (5) & \hat{D} (k) = \frac{ich}{2 π} S G N (k) δ (k^{2} - M^{2}) . \end{matrix}

$\hat D (k) = \frac{i}{2 \pi} \mathrm{sgn} (k) \delta (k^2 -m^2).\tag{5}$

Weiterhin ist diese Darstellung bis auf Hinzufügung einer Funktion mit Fourier-Transformation, die auf der Massenschale verschwindet, oder auf eine andere Weise gesetzt wird, eindeutig

\begin{matrix} (6) & ϕ_{ρ_{1}} = ϕ_{ρ_{2}} ⟺ \exists χ : ρ_{1} - ρ_{2} = (◻ + M^{2}) χ . \end{matrix}

$\phi _{\rho_1}=\phi_{\rho_2} \iff \exists \chi : \rho_1-\rho_2=(\Box + m^2) \chi. \tag{6}$

Man konstruiert dann einen Quotientenraum, der den Raum von allem teilt $\rho$ durch Raum von allen $(\Box +m^2) \chi$ . Auf diesem Raum die symplektische Form $\sigma (\rho_1, \rho_2)=\{ \phi_{\rho_1}, \phi_{\rho_2} \}$ ist wohldefiniert und nicht entartet. Es kann auch umgeschrieben werden als

\begin{matrix} (7) & σ (ρ_{1}, ρ_{2}) = \int ρ_{1} (X) D (X - j) ρ_{2} (j) D^{4} X D^{4} j . \end{matrix}

$\sigma (\rho_1, \rho_2) = \int \rho_1(x) D(x-y) \rho_2(y) d^4 x d^4 y.\tag{7}$

Erste Frage: Sind diese symplektischen Formen ( $\sigma(\cdot, \cdot)$ Und $\{ \cdot, \cdot \}$ ) irgendwie verwandt mit der Poisson-Klammer im Phasenraum in der Hamiltonschen Mechanik? Ich würde erwarten, dass so etwas wahr ist, aber dafür müsste man es irgendwie interpretieren $\rho$ als Funktion auf einem unendlichdimensionalen Phasenraum. Ich frage mich, ob dies getan werden kann. Und die zweite, aber eng verwandte Frage: Was ist die Interpretation davon $\rho$ Funktionen? Unser Dozent sagte uns, dass sie als Freiheitsgrade des Feldes betrachtet werden sollten, aber noch einmal, ich verstehe das nicht ganz. Etwas Intuition wäre hier schön.

Blazej

Dies stammt aus dem Feldtheoriekurs, der Spinoren, den Lagrange-Formalismus für Felder, das Cauchy-Problem, einige Eigenschaften von Skalarwellengleichungen, Elektrodynamik, Weyl- und Dirac-Gleichungen behandelt und ganz am Ende das Thema QFT (nur freie Felder) berührt. Diese symplektischen Formen erscheinen später bei der Einführung des quantenskalaren Feldes, zum Beispiel in Kommutierungsbeziehungen

[Φ (ρ_{1}), Φ (ρ_{2})] = i σ (ρ_{1}, ρ_{2})

$[\Phi (\rho_1),\Phi (\rho_2)]=i \sigma (\rho_1, \rho_2)$ . Analogie von

ρ

$\rho$ Zu

x

$x$ Und

p

$p$ im gewöhnlichen QM wurde betont, aber mir fehlt hier etwas Wichtiges. Und dieser Kurs ist nicht online und verwendet kein Lehrbuch :(

Antworten (1)

Bedeutung der symplektischen Form in der klassischen Feldtheorie

Dies stammt aus dem Feldtheoriekurs, der Spinoren, den Lagrange-Formalismus für Felder, das Cauchy-Problem, einige Eigenschaften von Skalarwellengleichungen, Elektrodynamik, Weyl- und Dirac-Gleichungen behandelt und ganz am Ende das Thema QFT (nur freie Felder) berührt. Diese symplektischen Formen erscheinen später bei der Einführung des quantenskalaren Feldes, zum Beispiel in Kommutierungsbeziehungen $[\Phi (\rho_1),\Phi (\rho_2)]=i \sigma (\rho_1, \rho_2)$ . Analogie von $\rho$ Zu $x$ Und $p$ im gewöhnlichen QM wurde betont, aber mir fehlt hier etwas Wichtiges. Und dieser Kurs ist nicht online und verwendet kein Lehrbuch :(

QMechaniker · Answer 1

Der erste Teil der Konstruktion von OP steht in direktem Zusammenhang mit dem kovarianten Hamilton-Formalismus für ein reelles Skalarfeld mit Lagrange-Dichte
$\begin{matrix} (KW4) & L = \frac{1}{2} \partial_{a} ϕ \partial^{a} ϕ - v (ϕ), \end{matrix}$ ${\cal L} ~=~ \frac{1}{2}\partial_{\alpha} \phi ~\partial^{\alpha} \phi -{\cal V}(\phi), \tag{CW4}$ siehe z. B. Ref.-Nr. [CW] und dieser Phys.SE-Beitrag. Siehe auch die Wronski-Methode in diesem Phys.SE-Beitrag. [In dieser Antwort verwenden wir die $(+,-,-,-)$ Minkowski-Signaturkonvention und Festlegen der Planck-Konstante $\hbar=1$ zu eins.] OP's Gl. (1)-(3) entsprechen in Lit. [CW] zum symplektischen 2-Form-Strom $\begin{matrix} (KW14) & J^{a} (X) = δ ϕ_{C l} (X) \land \partial^{a} δ ϕ_{C l} (X); \end{matrix}$ $J^{\alpha}(x) ~=~ \delta \phi_{\rm cl}(x) \wedge \partial^{\alpha} \delta\phi_{\rm cl} (x); \tag{CW14}$ die konserviert ist $\begin{matrix} (KW15) & \partial_{a} J^{a} (X) \approx 0; \end{matrix}$ $\partial_{\alpha} J^{\alpha}(x)~\approx~0 ;\tag{CW15}$ und die symplektische 2-Form $\begin{matrix} (KW16) & ω = \int_{Σ} D Σ_{a} J^{a} \end{matrix}$ $\omega ~=~\int_{\Sigma} \!\mathrm{d}\Sigma_{\alpha} ~J^{\alpha} \tag{CW16}$ auf dem Raum klassischer Lösungen. (Beachten Sie, dass Lit. [CW] die unendlichdimensionale äußere Ableitung mit a bezeichnet $\delta$ eher als ein $\mathrm{d}$ .) Wenn wir die standardmäßige anfängliche Zeitoberfläche auswählen $\Sigma=\{x^0=0\}$ , kommen wir zurück zur symplektischen 2-Standardform $\begin{matrix} (KW17) & ω = \int_{Σ} δ ϕ_{C l} \land δ {\dot{ϕ}}_{C l} . \end{matrix}$ $\omega ~=~\int_{\Sigma} \delta \phi_{\rm cl} \wedge \delta \dot{\phi}_{\rm cl}. \tag{CW17}$
Im zweiten Teil der Konstruktion von OP spezialisieren wir uns auf ein quadratisches Potential
$\begin{matrix} (A) & v (ϕ) = \frac{1}{2} M^{2} ϕ^{2}, \end{matrix}$ ${\cal V}(\phi) ~=~\frac{1}{2}m^2\phi^2, \tag{A}$ dh ein freies Feld.

OPs letzte Gl. (7) entspricht dem Standardkommutator mit ungleicher Zeit

\begin{matrix} (IZ3-55) & [ϕ (X), ϕ (j)] = ich Δ (X - j), \end{matrix}

$[\phi(x),\phi (y)]~=~ i\Delta(x\!-\!y) , \tag{IZ3-55}$ Wo

\begin{matrix} (IZ3-56) & \begin{aligned} Δ & (X - j) \\ = \frac{1}{ich} \int \frac{D^{4} k}{(2 π)^{3}} δ (k^{2} - M^{2}) S G N (k^{0}) e^{- ich k \cdot (X - j)}, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \Delta&(x\!-\!y) \cr &= \frac{1}{i} \int \! \frac{d^4k}{(2\pi)^3} \delta(k^2\!-\!m^2) ~{\rm sgn}(k^0)~ e^{-ik\cdot (x-y)},\end{align} \tag{IZ3-56}$ siehe z. B. Ref.-Nr. [IZ]. Zum Vergleich mit OP's Gl. (7), den Kommutator (IZ3-55) mit zwei Testfunktionen bestreichen

ρ_{1}

$\rho_1$ Und

ρ_{2}

$\rho_2$ . Differenzierung bzgl. zur Zeit

y^{0}

$y^0$ Erträge

\begin{matrix} (B) & \begin{aligned} [ϕ (X), π (j)] = & [ϕ (X), \dot{ϕ} (j)] \\ = & ich \cos (ω_{k} (X^{0} - j^{0})) δ^{3} (X - j), \\ ω_{k} := & \sqrt{k^{2} + M^{2}} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} [\phi(x),\pi (y)] ~=~&[\phi(x),\dot{\phi} (y)]\cr ~=~& i\cos(\omega_{\bf k} (x^0\!-\!y^0))~ \delta^3({\bf x}\!-\!{\bf y}), \cr \omega_{\bf k}~:=~&\sqrt{{\bf k}^2+m^2}.\end{align} \tag{B}$ Gl. (IZ3-55), (IZ3-56) und (B) implizieren die standardmäßige zeitgleiche CCR ,

\begin{matrix} (IZ3-3) & \begin{aligned} [ϕ (T, X), ϕ (T, j)] = & 0, \\ [ϕ (T, X), π (T, j)] = & ich δ^{3} (X - j), \\ [π (T, X), π (T, j)] = & 0 . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} [\phi(t, {\bf x}),\phi (t, {\bf y})] ~=~&0, \cr [\phi(t, {\bf x}),\pi (t, {\bf y})] ~=~&i\delta^3({\bf x}\!-\!{\bf y}), \cr [\pi(t, {\bf x}),\pi (t, {\bf y})]~=~&0 . \end{align} \tag{IZ3-3}$ Der CCR (IZ3-3) wiederum ist mit der standardmäßigen kanonischen Poisson-Klammer verwandt

\begin{matrix} (C) & \begin{aligned} {ϕ (T, X), ϕ (T, j)}_{P B} = & 0, \\ {ϕ (T, X), π (T, j)}_{P B} = & δ^{3} (X - j), \\ {π (T, X), π (T, j)}_{P B} = & 0 \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \{\phi(t, {\bf x}),\phi (t, {\bf y})\}_{PB} ~=~&0, \cr \{\phi(t, {\bf x}),\pi (t, {\bf y})\}_{PB}~=~&\delta^3({\bf x}\!-\!{\bf y}), \cr \{\pi(t, {\bf x}),\pi (t, {\bf y})\}_{PB} ~=~&0 \end{align} \tag{C}$ über das Korrespondenzprinzip zwischen Quantenmechanik und klassischer Mechanik, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

Verweise:

[CW] C. Crnkovic & E. Witten, Kovariante Beschreibung des kanonischen Formalismus in geometrischen Theorien. Veröffentlicht in Dreihundert Jahre Gravitation (Hrsg. SW Hawking und W. Israel), (1987) 676.
[IZ] C. Itzykson & JB Zuber, QFT, 1985, S. 117-118.

Bedeutung der symplektischen Form in der klassischen Feldtheorie

Blazej

Blazej

Antworten (1)

QMechaniker

Pendeln räumliche Ableitungen in der Hamiltonschen Feldtheorie mit Poisson-Klammern?

Ein verwirrender Punkt des Hamilton-Operators für ein Teilchen, das mit elektromagnetischen Feldern wechselwirkt

Die Eigenschaft der Poisson-Klammer als notwendige und hinreichende Bedingung für die kanonische Transformation?

Erhaltungsladungen/Bewegungskonstanten auf und außerhalb der Schale

Eindimensionales System ein Hamiltonsches System?

Gibt es eine Beziehung zwischen Poisson-Klammern und der Jacobi-Matrix?

Tensoroperator-Analogie in der klassischen Physik

Kanonische Transformation der Hamilton-Gleichung

Warum wird für Poisson-Klammern klassischer EM-Feldkomponenten eine transversale Delta-Verteilung benötigt?

Hamiltonsche Feldtheorie in Peskin & Schroeder