Hamiltonsche Feldtheorie in Peskin & Schroeder

Wenn Sie vom Lagrange- zum Hamilton-Bild übergehen, müssen Sie notwendigerweise eine bestimmte Schichtung der Raumzeit wählen – das heißt, Sie müssen eine bestimmte Zeitrichtung herausgreifen und Oberflächen mit konstanter Zeit betrachten. Eine einfache Möglichkeit, dies zu verstehen, besteht darin, dass, während der Lagrange-Operator ein Lorentz-Skalar ist, die Hamilton-Dichte die zeitähnliche Komponente der Vier-Impuls-Dichte ist, sodass ihr Wert von Ihrer Wahl der Raum- und Zeitachsen abhängt.

Nachdem dies gesagt wurde, gibt es natürlich keinen Grund, warum ich mir vorstellen kann, dass Sie Ihre klassischen Felder nicht ihre Zeitabhängigkeit enthalten lassen können, sobald Sie eine Zeitrichtung ausgewählt haben. Meine beste Vermutung ist, dass Peskin und Schroeder zunächst die Zeitabhängigkeit eliminiert haben, um zu betonen, dass sie eine bestimmte Zeitscheibe betrachten. Sie könnten auch daran denken, dass sie dabei sind, ihre Feldtheorie im Schrödinger-Bild zu quantisieren, wo die Felder sicherlich nicht von der Zeit abhängen. Aber sie könnten hier auch einfach ein bisschen schlampig sein.

Obwohl dies ein gutes Buch ist, berührt Ihre Frage genau ein ernstes Problem: in Gleichung (2.5) ihre$\phi$erfüllt

Unter Gleichung (2.20) sagen sie explizit, dass sie das Schrödinger-Bild aufstellen, in dem Operatoren explizit zeitunabhängig sind. Deshalb betonen sie die$\mathbf{x}$Abhängigkeit und nicht a$t$auch Abhängigkeit.

Dies könnte einen zum Nachdenken anregen$t$Abhängigkeit war nie da$\mathcal{L}$Und$\mathcal{H}$, aber es ist in der Klein-Gordon-Gleichung enthalten, und tatsächlich könnten sie Klein-Gordon nicht ableiten oder den Aktionsformalismus ohne das verwenden$t$Abhängigkeit, also erklären, wie das$t$-Abhängigkeit verschwindet, ist tatsächlich wichtig zu verstehen.

Sie blenden den Übergang aus$t$Abhängigkeit (vor (2.25)) zu Nicht-$t$-Abhängigkeit (ab (2.25)) sowohl in der Notation, die sie verwenden, als auch in der 1D Harmonic Oscillator- Analogie, die sie nach Gleichung (2.20) angeben, um zu argumentieren, wie die richtigen zeitunabhängigen Felder aussehen sollten , offensichtlich ist der Grund für diesen Ansatz zu betonen die Ähnlichkeit mit harmonischen Oszillatoren.

Dass dies alles richtig ist, wird also wieder in dem verborgen, was sie in Abschnitt (2.4) tun, das Heisenberg-Bild zeigt, kommt von der zeitunabhängigen Vermutung, die sie für den zeitunabhängigen Schrödinger-Bildoperator (2.25) gemacht haben, obwohl der Klein -Gordon-Gleichung, ihre Lösungen und die Aktion, die sie verwendeten, um sie aufzustellen, waren alle explizit zeitabhängig.

Also, vorausgesetzt, die$t$steht immer noch in Abschnitt 2.2, es erklärt, warum der Abschnitt vor Gleichung (2.4) verwendet$x = (t,\mathbf{x})$Notation, und betonen nur die$\mathbf{x}$Abhängigkeit, weil sie versuchen wollen, die klassischen Körper als zeitunabhängige Schrödinger -Bildoperatoren zu interpretieren (wie unter Gl. (2.20) gesagt).

In (2.25) bis (2.28) können sie nur, weil sie in Analogie zum 1D Harmonic Oscillator argumentierten, die allgemeine Modenentwicklung der Felder schreiben$\hat{\phi}$(und so$\pi$) als zeitunabhängig. Aber wenn man Vermutungen vermeiden will, sollten wir in der Lage sein, mit (2.25) zu kommen$t$Abhängigkeit noch da, so die$a_{\mathbf{p}}$'s sind wirklich$a_{\mathbf{p}}(t)$'S. In dieser Analogie ist ein sehr klarer Logiksprung verborgen, der gut ist, aber sehr verwirrend sein kann.

Also wenn die$\phi$'s abhängen$t$, und so$x = (t,\mathbf{x})$, kann dieses Verfahren nur konsistent sein, wenn sich die Zeitabhängigkeit von der vollen Ausdehnung des Quanten- oder klassischen Feldes "ablöst". Wenn Sie zwischen (2.20) und (2.21) schauen, verwenden sie die Zeitabhängigkeit der Felder weiter$t$beim Aufbau ihrer 1D Harmonic Oscillator-Analogie, so dass sie nicht konsistent damit sind, wie sie damit umgehen$t$.

Also wirklich, all dies ist eigentlich die Ableitung des Heisenberg-Bildes , bis das Raten beginnt. Vergleichen Sie mit ([2], Kap. 3), das eine ähnliche Ableitung (ohne Analogien) im Heisenberg-Bild durchführt.

Wie würde also die P&S-Beschreibung aussehen, wenn sie es nicht erraten hätten?

Als nächstes müssten wir als nächstes noch (2.25) bekommen. Wir können einfach die allgemeine Moduserweiterung von aufschreiben$\hat{\phi}$in (2.25) als allgemeine Lösung der Klein-Gordon-Gleichung, aber mit eingeschlossener Zeitabhängigkeit, dh$\hat{\phi}(x) = \hat{\phi}(\mathbf{x},t)$. Siehe Referenz [3] unten, Gleichungen (43.3 – 43.11), wenn Sie dies ausführlicher dargestellt sehen möchten.

Die müssen wir jetzt loswerden$t$-Abhängigkeit in (2.25), um die Schrödinger-Bildperspektive zu erhalten. Betrachtet man nun (2.32), so ist die$[\hat{H},\hat{a}_{\mathbf{p}}] = ...$Typbeziehungen, oder besser gesagt ihre Form in Form von Exponentialen in (2.46), das sind die Schlüsselbeziehungen, die uns dies ermöglichen. In diesem Sinne wäre es also gut, als nächstes (2.44) bis (2.49) ausgeführt zu haben.

Dann ist es mit (2.32)/(2.46) eine einfache Übung, die (jetzt zeitabhängige)$\hat{\phi}(\mathbf{x},t)$in (2.25) als (2.43) was ist

Offensichtlich sollte ein Schrödinger-Bild existieren, also können sie einfach annehmen, dass es existiert, aber sie müssen dann die Tatsache ignorieren, dass sie die Zeitabhängigkeit in der Klein-Gordon-Gleichung angenommen und in ihren Lösungen gefunden haben, und dann einfach annehmen, dass sie zu einem Schrödinger-Bild- Operator führen wenn sie quantisiert werden, und überspringen Sie dann einfach die Details des Übergangs, indem Sie analog argumentieren (wie sie es nach (2.20) tun), wie die zeitunabhängigen Operatoren aussehen sollten. Die Begründung scheint zu sein, dass in Abschnitt 2.4 alles aufgeht, denn ausgehend von ihrer Analogie-basierten (2.25) erhält man daraus (in (2.43)) ein Heisenberg-Bild, das die Klein-Gordon-Gleichung wiedergibt.

Ohne durch Analogie zu argumentieren, können wir erst jetzt wirklich sagen, dass die Vertauschungsbeziehungen in (2.20) in (2.20) konsistent sind. Eigentlich hätten wir in (2.20) angeben sollen, dass es sich um Heisenberg-Bildkommutatoren zu einem festen Zeitpunkt handelt (vgl. [2] Gl. (3.28)). Tatsächlich setzen sie „gleiche Zeit“ in Anführungszeichen darunter, nachdem sie einfach erklärt haben, dass sie zeitunabhängige Operatoren sind (obwohl sie die Zeitabhängigkeit direkt darunter verwenden und über 2,25 sagen, dass sie über den klassischen Klein-Gordon-Hamiltonian sprechen, der mit zeitabhängigen Feldern abgeleitet wurde, da ist einfach ein großer Sprung).

Die Art und Weise, dies zu lesen, ist also: Abschnitt 2.2 hat eine Zeitabhängigkeit (trotz der Notation), ebenso wie das Heisenberg-Bild; Abschnitt 2.3 hat keine Zeitabhängigkeit (obwohl sie die Zeitabhängigkeit entscheidend in (2.21) verwenden, um ihre Analogie zu rechtfertigen, damit sie die Details vermeiden können, wie die Zeitabhängigkeit beseitigt wird) und sie verwenden Analogien, um zu argumentieren, was das Schrödinger-Bild sollteaussehen; Abschnitt 2.4 zeigt, dass die Vermutung, die sie in Abschnitt 2.3 gemacht haben, die korrekten Eigenschaften liefert, die man vom Heisenberg-Schrödinger-Bildübergang erwarten würde. Sie hätten das Schrödinger-Bild einfach ableiten können, indem sie mit der Heisenberg-Bildperspektive weitergemacht und das Raten nachgestellt hätten, um zu zeigen, dass es die erwartete Antwort gab, der Preis, den man zahlt, besteht möglicherweise darin, die Art der Ableitung einzuführen, die in [3] und angegeben ist der Nutzen soll darin bestehen, die eigene Vertrautheit mit harmonischen Oszillatoren auszunutzen.

Verweise:

1. Peskin und Schroeder, "Quantenfeldtheorie", 1. Aufl.
2. Srednicki, "Quantenfeldtheorie", 1. Aufl.
3. Woit, „ Quantentheorie, Gruppen und Darstellungen “.

Der$t$-Abhängigkeit der verschiedenen Größen ist in der Notation unterdrückt/implizit im erwähnten klassischen Abschnitt 2.2 von P&S enthalten. ZB die klassischen Felder$\phi$Und$\pi$immer noch vom Raumzeitpunkt ab$x=({\bf x},t)$; nicht nur die Stellung${\bf x}$.

Die obige klassische Geschichte ist dem Heisenberg-Bild in der entsprechenden Quantentheorie am nächsten verwandt. Wie üblich haben Operatoren im Schrödinger-Bild keine Zeitabhängigkeit , vgl. bolbteppas Antwort.