Frage zum Klein-Gordon-Feld-Lagrange

Question

Frage zum Klein-Gordon-Feld-Lagrange

Physik
hamiltonisch
Feldtheorie
Quantenfeldtheorie
Klein-Gordon-Gleichung

Asung

Ich habe das Klein-Gordon-Feld mit Peskin QFT studiert. Ich weiß, dass der Hamiltonoperator des Skalarfelds geschrieben werden kann als

H = \int D^{3} X [\frac{1}{2} π^{2} + \frac{1}{2} (\nabla ϕ)^{2} + \frac{1}{2} M^{2} ϕ^{2}]

$H=\int d^3x\left[\frac{1}{2}\pi^2+\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2+\frac{1}{2}m^2\phi^2\right]$ Wenn das Buch jedoch die Zeitabhängigkeit von berechnet

π

$\pi$ , Heisenberg-Bewegungsgleichung wird als Bild unten geschrieben.

Auf dem Bild unterscheidet sich der Hamilton-Operator von oben. Speziell, $\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2$ wurde $-\frac{1}{2}\phi\nabla^2\phi$ . Wie ist das möglich?

Matt0410

Integrieren Sie partiell und ignorieren Sie den Randterm.

Charlie

Ziemlich oft in der Physik, wenn ein Minuszeichen unter einem Integral aus dem Nichts auftaucht, hat der Autor in aller Stille eine partielle Integration durchgeführt und den Grenzterm verworfen.

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Ziemlich oft in der Physik, wenn ein Minuszeichen unter einem Integral aus dem Nichts auftaucht, hat der Autor in aller Stille eine partielle Integration durchgeführt und den Grenzterm verworfen.

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(\nabla ϕ)^{2} = \nabla \cdot (ϕ \nabla ϕ) - ϕ \nabla^{2} ϕ .

$(\nabla\phi)^2=\nabla\cdot(\phi\nabla\phi)-\phi\nabla^2\phi.$

Verwenden Sie dann den Satz von Gauß

∭ D v \nabla \cdot (ϕ \nabla ϕ) = \iint D S ϕ \nabla ϕ .

$\iiint\,dV\,\nabla\cdot(\phi\nabla\phi)=\iint\,dS\,\phi\nabla\phi.$

Wir gehen immer davon aus, dass das Feld $\phi$ geht im Unendlichen auf Null, also wird dieser "Grenzterm" ignoriert und Sie erhalten $(\nabla\phi)^2=-\phi\nabla^2\phi$ unter Integral.

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Asung

Matt0410

Charlie

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