Zeitabhängigkeit von Leiteroperatoren in QFT

Question

Zeitabhängigkeit von Leiteroperatoren in QFT

Physik
hamiltonisch
Zeitentwicklung
zweite Quantisierung
Quantenfeldtheorie
Klein-Gordon-Gleichung

Schwerkraft der Hohlraum

Ich gehe gerade das Buch Quantum Field Theory and the Standard Model von Matthew D. Schwartz durch , S. 23. Für freie (nicht wechselwirkende) Feldtheorien können wir das Feld quantisieren, indem wir unseren Feldoperator als eine Fourier-Transformation von Leiteroperatoren für jeden Modus erweitern, dh

\begin{matrix} (2,78) & ϕ_{0} (X) = \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 ω_{P}}} (A_{P} e^{- ich P . X} + A_{P}^{†} e^{ich P . X}) . \end{matrix}

$\phi_0(x) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_p}}(a_pe^{-ip.x} + a_p{^\dagger}e^{ip.x}).\tag{2.78}$

Für unsere freien Theorien führt dies zum Hamiltonoperator

H_{0} \propto \int D^{3} P ω_{P} A_{P}^{†} A_{P}

$H_0 \propto \int d^3p \space \omega_p a_p^{\dagger}a_p$ mit

\begin{matrix} (2,69) & [A_{k}, A_{P}^{†}] = (2 π)^{3} δ^{3} (\vec{k} - \vec{P}) . \end{matrix}

$[a_k,a^\dagger_p]=(2\pi)^3\delta^3(\vec{k}-\vec{p}).\tag{2.69}$

Dies gibt uns eine klare physikalische Interpretation. Die Leiterbetreiber, sagen wir $a^\dagger_p$ , fügt dem Modus ein 'Quanta' hinzu $\omega_p$ in ähnlicher Weise wie beim einfachen harmonischen Oszillator aufgrund analoger Kommutierungsbeziehungen zwischen den Leiteroperatoren und dem Hamilton-Operator. Damit bin ich zufrieden.

Das Problem entsteht jedoch für mich, wenn ich versuche, den Quantenfeldoperator unter einer allgemeinen Wechselwirkungstheorie zu interpretieren. Im Heisenberg-Bild muss der Feldoperator gehorchen

\begin{matrix} (2,80) & ich \partial_{T} ϕ (X) = [ϕ, H] . \end{matrix}

$i\partial_t\phi(x)=[\phi,H].\tag{2.80}$

Es wird dann gesagt, dass dies gelöst werden kann, wenn $a_p \rightarrow a_p(t)$ so dass der Wechselwirkungsfeldoperator gegeben ist durch

\begin{matrix} (2.81) & ϕ (X) = \int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 ω_{P}}} [A_{P} (T) e^{- ich P . X} + A_{P}^{†} (T) e^{ich P . X}] . \end{matrix}

$\phi(x) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_p}}[a_p(t)e^{-ip.x} + a_p{^\dagger}(t)e^{ip.x}].\tag{2.81}$

Mein Problem ist die Interpretation von $a^\dagger_p(t)$ als Operator, der Teilchen in der allgemeinen Wechselwirkungstheorie erzeugt, und wie es in Matthews Buch heißt, dass diese zeitabhängigen Leiteroperatoren dieselbe Algebra erfüllen wie die der freien Theorie. In unserer freien Theorie der Kommutator $[H_0,a^\dagger_p]=+\omega_pa^\dagger_p$ was zu der Interpretation der Leiteroperatoren geführt hat, Partikel zum System hinzuzufügen oder zu entfernen, ist mir nicht klar, ob dies zutreffen würde $[H,a^\dagger_p(t)]=+\omega_p(t)a^\dagger_p(t)$ in der Wechselwirkungstheorie.

Schwerkraft der Hohlraum

p23 und das Buch geben nicht wirklich an, welche EQs, aber ich nahm an, dass es dieselben EQs bedeutet wie für den einfachen harmonischen Oszillator, dh

[H, a^{†}] = ω a^{†}

$[H,a^\dagger]=\omega a^\dagger$ da den zeitabhängigen Leiteroperatoren die gleiche physikalische Interpretation gegeben wird

Antworten (2)

Zeitabhängigkeit von Leiteroperatoren in QFT

p23 und das Buch geben nicht wirklich an, welche EQs, aber ich nahm an, dass es dieselben EQs bedeutet wie für den einfachen harmonischen Oszillator, dh $[H,a^\dagger]=\omega a^\dagger$ da den zeitabhängigen Leiteroperatoren die gleiche physikalische Interpretation gegeben wird

Mike Stein · Answer 1

"Erfüllen Sie die gleiche Algebra" bedeutet, dass die Vertauschungsbeziehungen die gleiche Zeit haben

[A_{P} (T), A_{P^{'}}^{†} (T)] = 2 E_{P} (2 π)^{3} δ^{3} (P - P^{'})

$[a_p(t), a^\dagger_{p'}(t)]= 2E_p (2\pi)^3 \delta^3(p-p')$ weiter halten. Der

a_{p} (t)

$a_p(t)$ sind jedoch keine Leiteroperatoren mehr für den Hamilton-Operator der Wechselwirkungstheorie. Es gibt keine Gleichung wie

[H, A_{P}^{†} (T)] = E_{P} A_{P}^{†} (T) .

$[H, a^\dagger_p(t)]= E_p a^\dagger_p(t).$

Das Beste, worauf man hoffen kann, ist das $\phi$ koppelt das Vakuum an einen Ein-Teilchen-Zustand, so dass

⟨ P | ϕ (X) | v A C ⟩ = \sqrt{Z} e^{- ich P \cdot X}

$\langle p |\phi(x)|{\rm vac} \rangle= \sqrt Z e^{-ip\cdot x}$ Der

\sqrt{Z}

$\sqrt Z$ ist da weil

ϕ

$\phi$ kann das Vakuum auch mit Vielteilchenzuständen verbinden. Wenn ja, dann

Z < 1

$Z<1$ . Es ist auch möglich, dass es im wechselwirkenden System kein Teilchen gibt, das die Quantenzahlen von hat

ϕ

$\phi$ . Zum Beispiel gibt es im QCD-Spektrum keine Teilchen mit Ladung +2/3, sodass der Zustand, der sich aus der Einwirkung auf das Vakuum mit einem Up-Quark-Feldoperator ergibt, keine Überlappung mit einem QCD-Eigenzustand hat, ebenso wie das Ergebnis der Einwirkung mit einem seiner Bestandteil

a^{†}

$a^\dagger$ 'S

Michel Grosso · Answer 2

QFT (Quantenfeldtheorie) beschreibt die Streuung ankommender Zustände $\vert i \rangle$ in ausgehende Staaten $\vert f \rangle$ in Bezug auf asymptotische In- und Out-States.

In der asymptotischen Vergangenheit $t \to −\infty$ , die In-Staaten $\vert i \rangle$ werden als distinkte Wellenpakete beschrieben, die gut getrennten Einzelteilchenzuständen entsprechen. Weit auseinander sein für $t \to −\infty$ sie reisen frei als einzelne Staaten. Für $t \to +\infty$ die Außenstaaten $\vert f \rangle$ sind wieder asymptotisch freie und gut separierte Einzelteilchenzustände.

Der In-Zustand $\phi_{in}$ hat $E = \sqrt{\vec p^2 + m^2}$ Wo $m$ ist der 1-Teilchen-Pol im Feynman-Propagator der vollständigen Wechselwirkungstheorie. Deshalb, $\phi_{in}$ ist ein freies Feld, das der freien Klein-Gordon-Gleichung gehorcht, aber mit voller Masse $m \ne m_0$ , Wo $m_0$ ist der Pol der freien Theorie
$(\partial^2 + m^2) \phi_{in} = 0$

Eine Erweiterung ist somit möglich $\phi_{in}$ bezüglich $a_{in} (\vec p)$ Und $a_{in}^\dagger (\vec p)$ , bzw. Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren.

Im Heisenberg-Bild
$\phi_{in} (x) = \int \frac{d^3p}{(2 \pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 E_p}} (a_{in} (\vec p) e^{-ipx} + a_{in}^\dagger (\vec p) e^{ipx})$

Ein ähnlicher Ausdruck gilt für $\phi_{out} (x)$ .

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