Klein-Gordon-Quantisierung und SHO-Analogie

Question

Klein-Gordon-Quantisierung und SHO-Analogie

Physik
zweite Quantisierung
Quantenfeldtheorie
Klein-Gordon-Gleichung

Pierre

Ich verstehe, dass das Verfahren zum Quantisieren des Klein-Gordon-Feldes darin besteht, es so zu manipulieren, dass das einfache harmonische Oszillatorverhalten des Feldes zum Vorschein kommt. Dies erfolgt durch Fourier-Transformation der Raumvariablen des Feldes $\phi\left(\vec{x},t\right)$ und wieder in die KG-Gleichung einstecken. Das Ergebnis davon ist, eine SHO-Bewegungsgleichung für jeden Modus zu erhalten,

(\frac{D^{2}}{D T^{2}} + ω_{P}^{2}) ϕ (\vec{P}, T) = 0.

$\left(\frac{d^2}{dt^2}+\omega_p^2\right)\phi\left(\vec{p},t\right)=0.$ Der konjugierte Impuls gegeben durch

π (\vec{p}, t) = \dot{ϕ} (\vec{p}, t)

$\pi\left(\vec{p},t\right)=\dot{\phi}\left(\vec{p},t\right)$ ist auch die Fourier-Transformation der Raumvariablen des konjugierten Impulses

π (\vec{x}, t) = \dot{ϕ} (\vec{x}, t)

$\pi\left(\vec{x},t\right)=\dot{\phi}\left(\vec{x},t\right)$ .

Um nun das SHO in der nicht-relativistischen Quantenmechanik zu quantisieren, legen wir Kommutierungsbeziehungen fest. Da sich die Modi wie ein Oszillator verhalten, sollten wir sie auferlegen

[ϕ (\vec{P}, T), π ({\vec{P}}^{'}, T)] = ich ℏ δ (\vec{P} - {\vec{P}}^{'}) .

$\left[\phi\left(\vec{p},t\right),\pi\left(\vec{p}',t\right)\right]=i\hbar\delta\left(\vec{p}-\vec{p}'\right).$ Aber das steht nicht in Lehrbüchern. Die Vertauschungsbeziehungen werden stattdessen den tatsächlichen Feldern auferlegt

[ϕ (\vec{X}, T), π ({\vec{X}}^{'}, T)] = ich ℏ δ (\vec{X} - {\vec{X}}^{'}),

$\left[\phi\left(\vec{x},t\right),\pi\left(\vec{x}',t\right)\right]=i\hbar\delta\left(\vec{x}-\vec{x}'\right),$ was wiederum impliziert,

[ϕ (\vec{P}, T), π ({\vec{P}}^{'}, T)] = ich ℏ {(2 π)}^{3} δ (\vec{P} + {\vec{P}}^{'}) .

$\left[\phi\left(\vec{p},t\right),\pi\left(\vec{p}',t\right)\right]=i\hbar\left(2\pi\right)^3\delta\left(\vec{p}+\vec{p}'\right).$

Der Faktor $\left(2\pi\right)^3$ per Konvention in die erste Vertauschungsrelation aufgenommen werden könnte. Allerdings stört mich das Pluszeichen. Dadurch ändert sich natürlich auch die Vertauschungsbeziehung zwischen den Leiteroperatoren,

[A_{\vec{P}}, A_{{\vec{P}}^{'}}^{†}] = {(2 π)}^{3} δ (\vec{P} + {\vec{P}}^{'})

$\left[a_\vec{p},a^\dagger_{\vec{p}'}\right]=\left(2\pi\right)^3\delta\left(\vec{p}+\vec{p}'\right)$

Ist es nur eine Konvention, die die Physik nicht beeinflusst, oder hat sie tiefere Auswirkungen?

Danke

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Klein-Gordon-Quantisierung und SHO-Analogie

Pierre · Answer 1

Meine Verwirrung zwischen den gekoppelten HOs und der Klein-Gordon-Quantisierung war auf Folgendes zurückzuführen.

Bei gekoppelten HOs beginnen wir beispielsweise mit der Lagrange-Funktion

L = \sum_{N = 0}^{N + 1} [\frac{1}{2} M {\dot{Q}}_{N}^{2} - \frac{k}{2} {(Q_{N + 1} - Q_{N})}^{2}]

$L=\sum_{n=0}^{N+1}\left[\frac{1}{2}m\dot{q}_n^2-\frac{k}{2}\left(q_{n+1}-q_{n}\right)^2\right]$ mit

q_{0} = q_{N + 1} = 0

$q_0=q_{N+1}=0$ , und fahren Sie dann mit dem Entkoppeln des EOM mit der Variablentransformation fort

q_{n} (t) = \sum_{j = 0}^{N + 1} Q_{j} (t) \sin n p_{j}

$q_n\left(t\right)=\sum_{j=0}^{N+1}Q_j\left(t\right)\sin{n p_j}$ erhalten

L = \sum_{N = 0}^{N + 1} [\frac{1}{2} M {\dot{Q}}_{N}^{2} - \frac{1}{2} M ω_{N}^{2} Q_{N}^{2}] .

$L=\sum_{n=0}^{N+1}\left[\frac{1}{2}m\dot{Q}_n^2-\frac{1}{2}m \omega_n^2Q^2_n\right].$

In Analogie zur SHO können wir nun den Modenkoordinaten die Kommutierungsrelationen aufprägen :

[Q_{M}, P_{N}] = ich δ_{M N},

$\left[Q_m,P_n\right]=i\delta_{mn},$ Und

[Q_{M}, Q_{N}] = [P_{M}, P_{N}] = 0.

$\left[Q_m,Q_n\right]=\left[P_m,P_n\right]=0.$

Auf die gleiche Weise würden wir mit KG eine Änderung der Variablen unter Verwendung der Fourier-Transformation vornehmen

ϕ (\vec{X}, T) = \int \frac{D^{3} P}{{(2 π)}^{3}} ϕ (\vec{P}, T) e^{- ich \vec{P} \cdot \vec{X}},

$\phi\left(\vec{x},t\right)=\int\frac{d^3p}{\left(2\pi\right)^3}\phi\left(\vec{p},t\right)e^{-i\vec{p}\cdot\vec{x}},$ und erhalten Sie die entkoppelte Lagrange-Funktion

L = \frac{1}{2} {\dot{ϕ}}^{2} - \frac{1}{2} ω_{P}^{2} ϕ^{2} .

$L=\frac{1}{2}\dot{\phi}^2-\frac{1}{2}\omega^2_p\phi^2.$ wo jetzt

ϕ = ϕ (\vec{p}, t)

$\phi=\phi\left(\vec{p},t\right)$ . Eine unmittelbare Analogie würde dazu führen

[ϕ (\vec{P}, T), π ({\vec{P}}^{'}, T)] = ich {(2 π)}^{3} δ (\vec{P} - {\vec{P}}^{'}) .

$\left[\phi\left(\vec{p},t\right),\pi\left(\vec{p}',t\right)\right]=i\left(2\pi\right)^3\delta\left(\vec{p}-\vec{p}'\right).$ und dies würde zu den oben erwähnten Inkonsistenzen führen.

Das Problem ist, dass diese Kommutierungsrelation falsch ist. Der Grund dafür ist, dass die ursprünglichen Variablentransformationen von $q\rightarrow Q$ machte das $Q$ ist echt, während die Modi des Feldes $\phi\left(\vec{p},t\right)$ sind nicht. Damit sind die richtigen Vertauschungsrelationen

[ϕ (\vec{P}, T), π^{†} ({\vec{P}}^{'}, T)] = ich {(2 π)}^{3} δ (\vec{P} - {\vec{P}}^{'}) .

$\left[\phi\left(\vec{p},t\right),\pi^\dagger\left(\vec{p}',t\right)\right]=i\left(2\pi\right)^3\delta\left(\vec{p}-\vec{p}'\right).$

Dadurch wird das Vorzeichen aller anderen Vertauschungsbeziehungen korrigiert. Übrigens wird dies durch die Tatsache unterstützt, dass der Lagrange-Operator eine reelle Funktion sein sollte und somit der ungekoppelte Lagrange-Operator für das Feld eigentlich lauten sollte

L = \frac{1}{2} \dot{ϕ} {\dot{ϕ}}^{†} - \frac{1}{2} ω_{P}^{2} ϕ ϕ^{†},

$L=\frac{1}{2}\dot{\phi}\dot{\phi}^\dagger-\frac{1}{2}\omega^2_p\phi\phi^\dagger,$ Wo

ϕ = ϕ (\vec{p}, t)

$\phi=\phi\left(\vec{p},t\right)$ .

Klein-Gordon-Quantisierung und SHO-Analogie

Pierre

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Pierre

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