Schrödinger-Gleichung aus Klein-Gordon-Gleichung?

Ich glaube du verwechselst zwei verschiedene Dinge:

1. Erstens können Sie QM als sehen$0+1$(eine zeitliche Dimension) QFT, bei der die Ortsoperatoren (und ihre konjugierten Impulse) im Heisenberg-Bild die Rolle der Felder (und ihrer konjugierten Impulse) in der QFT spielen. Sie können beispielsweise überprüfen, dass die räumliche Rotationssymmetrie in der quantenmechanischen Theorie in eine interne Symmetrie in der QFT übersetzt wird.

2. Zweitens können Sie die "nicht-relativistische Grenze" (übrigens hässlicher Name, weil die Galileische Relativitätstheorie so relativistisch ist wie die spezielle Relativitätstheorie) der Klein-Gordon- oder Dirac-Theorie nehmen, um eine "nicht-relativistische" Schrödinger-QFT zu erhalten, wo$\phi$(in Ihrer Notation) ist ein Quantenfeld anstelle einer Wellenfunktion. Es gibt ein Kapitel in Srednickis Buch, in dem dieses Thema auf einfache und nette Weise angesprochen wird. Dort können Sie auch über Spin-Statistik-Theorem und die Wellenfunktion von Mehrteilchenzuständen lesen. Lassen Sie mich einige Gleichungen hinzufügen, die das hoffentlich verdeutlichen (ich verwende Ihre Notation und natürlich können falsche Faktoren, Einheiten usw. vorkommen):

Das Quantenfeld ist:

$$\phi \sim \int d^3p \, a_p e^{-i(p^2/(2m) \cdot t - p \cdot x)}$$

Der Hamiltonoperator ist:

$$H \sim i\int d^3x \left( \phi^{\dagger}\partial_t \phi - \frac{1}{2m}\partial _i \phi ^{\dagger} \partial ^i \phi \right) \, \sim \int d^3p \, \frac{p^2}{2m} \,a^{\dagger}_p a_p$$

Die Entwicklung des Quantenfeldes ist gegeben durch:

$$i\partial _t \phi \sim [\phi, H] \sim -\frac{\nabla ^2 \phi}{2m}$$

1-Teilchen-Zustände sind gegeben durch:

$$|1p\rangle \sim \int d^3p \, \tilde f(t,p) \, a^{\dagger}_p \, |0\rangle$$

(analog kann man Mehrteilchenzustände definieren)

Dieser Zustand verifiziert die Schrödinger-Gleichung:

$$H \, |1p\rangle=i\partial _t \, |1p\rangle$$ iff

$$i\partial _t \, f(t,x) \sim -\frac{\nabla ^2 f(t,x)}{2m}$$

Wo$f(t,x)$ist die räumliche Fourier-Transformation von$\tilde f (t,p)$.

$f(t,x)$ist eine Wellenfunktion, während$\phi (t, x)$ist ein Quantenfeld.

Dies ist die freie Theorie, man kann auf ähnliche Weise Interaktion hinzufügen.

In dieser Antwort nehmen wir zur Verdeutlichung die richtigen Faktoren von auf$\hbar$Und$c$in der Berechnung in Kapitel III.5 von Zee's QFT in a Nutshell.

$$\Phi(\vec{x},t)~=~\frac{\hbar}{\sqrt{2m}}\exp\left(-\frac{imc^2t}{\hbar}\right)\phi(\vec{x},t).\tag{4}$$

Die freie Klein-Gordon- Lagrange-Dichte ist

$$\begin{align} {\cal L} ~=~&\left|\frac{1}{c}\partial_t \Phi\right|^2 - |\nabla \Phi|^2 -|\frac{mc}{\hbar}\Phi|^2\cr ~\stackrel{(4)}{=}~&\left|\left(\frac{\hbar}{c\sqrt{2m}}\partial_t-ic\sqrt{\frac{m}{2}}\right) \phi\right|^2 - \frac{\hbar^2}{2m}|\nabla \phi|^2 -\frac{mc^2}{2}|\phi|^2\cr ~=~&\left|\frac{\hbar}{c\sqrt{2m}}\partial_t\phi\right|^2 +\frac{i\hbar}{2}\left(\phi^{\dagger}\partial_t\phi-\partial_t \phi^{\dagger}\phi \right)- \frac{\hbar^2}{2m}|\nabla \phi|^2 \cr ~\longrightarrow& \frac{i\hbar}{2}\left(\phi^{\dagger}\partial_t\phi-\partial_t \phi^{\dagger}\phi \right)- \frac{\hbar^2}{2m}|\nabla \phi|^2\quad {\rm for }\quad c~\to~\infty. \end{align} \tag{5}$$ Der letzte Ausdruck ist die freie Schrödinger-Lagrange-Dichte (bis zu den Ableitungstermen der gesamten Raumzeit), vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.