Wie füllt man die Lücken in dieser QFT-Konstruktion?

Ich habe in mehreren Büchern und Vorlesungsunterlagen die Quantisierung des freien KG-Feldes beschrieben, und vielleicht, weil ich eine Art Person bin, die sich mit "handwinkenden" Konstruktionen unwohl fühlt, habe ich immer noch das Bedürfnis nach einer etwas strengeren Ansatz, den ich nirgendwo gefunden habe.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass dies überall so gemacht wird :

  1. Nehmen Sie zuerst die Fourier-Transformation der KG-Gleichung ◻ ϕ = 0 und stellen Sie fest, dass wir im Fourier-Raum die zeitliche Entwicklung von unzähligen harmonischen Oszillatoren erhalten, dh die Gleichung ∂ T ϕ ^ ( T , P ) + ω P 2 ϕ ^ ( T , P ) = 0 mit P Fest.

  2. Daraus sagt man direkt, dass das Quantenfeld ist

    ϕ ( X , T ) = ∫ D 3 P ( 2 π ) 3 ( A P e − ich P μ X μ + A P † e ich P μ X μ )

    Wichtig ist, dass hier noch nie jemand die Operatoren definiert hat A P . An dieser Stelle wird behauptet, dass dies nur eine Folge davon ist, dass das Feld unzähligen entkoppelten Oszillatoren entspricht, und behauptet, dass man nur die Ergebnisse von QM des harmonischen Oszillators verwendet, aber es wird nicht viel von einer präzisen Konstruktion gemacht.

  3. Daraus leiten sich die Vertauschungsrelationen für ab ϕ , π sind äquivalent zu den Vertauschungsrelationen [ A P , A Q † ] = ich δ ( P − Q ) Und [ A P , A Q ] = [ A P † , A Q † ] = 0 formell arbeiten. Erinnere dich daran auch nicht ϕ ( X ) , noch A P , noch wurde der Raum, in dem sie agieren, jemals definiert.

  4. Man behauptet nur, es sei offensichtlich, dass der Raum, in dem diese Operatoren wirken, ein Fock-Raum ist (obwohl nichts darüber gesagt wird, dass der übliche Fock-Raum über abzählbar viele Hilbert-Räume aufgebaut ist, während wir hier in der Klassik überabzählbar Mähnenoszillatoren haben Bild wie in (1)) erklärt. Ein weiteres Problem, das nie behandelt wird, ist, dass der Fock-Raum das Anheften des symmetrischen oder antisymmetrischen Tensorprodukts erfordert, und es wird nicht klargestellt, welches von ihnen und wie dies abgeleitet wurde.

  5. Um die Sache noch schlimmer zu machen, nie definiert zu haben A P man behauptet nur, dass es einen Staat gibt | 0 ⟩ so dass A P | 0 ⟩ = 0 und das für jeden P Festgelegt können die Ergebnisse für die Ladder-Operatoren aus dem Harmonic Oscilator übernommen und angepasst werden.

Ich meine, ich verstehe, dass Strenge in QFT kompliziert ist. Ich habe ein wenig darüber gelesen. Aber das ist eine andere Geschichte: Hier kommt alles aus dem Nichts!

Zum Beispiel habe ich kein Problem mit Diracs Formalismus in QM, obwohl es sehr kompliziert ist, ihn rigoros zu machen, aber ich bin damit einverstanden, weil die Annahmen in den meisten QM-Büchern klar gemacht werden und die Ableitungen fast immer sind getan, ohne dass etwas aus dem Nichts kommt. Die Herleitung des Spektrums und der Eigenzustände des SHO beispielsweise wird in vielen Büchern ausführlich und präzise durchgeführt.

Nun hat dieses Quantisierungsverfahren viele Lücken, die nicht erklärt werden. Die Beziehung zwischen dem Feld, den harmonischen Oszillatoren und dem Fock-Raum wird ständig verwendet, aber nie präzisiert. Man behauptet einfach Dinge ohne viel Erklärung.

Was ist hier eigentlich los? Wie können all diese Konstruktionen und diese Beziehungen präzisiert werden? Was kann getan werden, um zumindest die Annahmen klar und die Herleitung auch klar zu machen? Wie können wir das alles umfassender konstruieren?

Probieren Sie dieses Buch aus , es ist das QFT-Analogon von Diracs Meisterwerk „Das Prinzip der Quantenmechanik“.
Erinnern Sie sich, wie der einfache harmonische Oszillator quantisiert wird?
Ja @Prahar, aber ich kann keine genaue Verbindung erkennen. Mein Punkt ist: Bei der Quantisierung des SHO in QM gehen wir davon aus , dass wir einen Zustandsraum haben E mit Operatoren X , P befriedigend [ X , P ] = ich ℏ zusammen mit einer Vertretung X | X ⟩ = X | X ⟩ st. Wir können Kets darstellen | ψ ⟩ nach Funktionen ψ ( X ) = ⟨ X | ψ ⟩ . Diese Strukturen werden als gegeben angenommen (dies kann meiner Meinung nach als eine implizite Verwendung des Stone-von-Neumann-Theorems angesehen werden). Dann definieren wir in Bezug auf diese A Und A † zu faktorisieren H .
Wir beweisen dann viele Eigenschaften dieser Operatoren, die es ermöglichen, die Eigenwerte und Eigenzustände von zu finden H . Das können wir aber nur, weil wir definiert haben A Und A † in einem Raum, von dem angenommen wird, dass er in Bezug auf Operatoren, die wir bereits haben, gegeben ist. Mit anderen Worten, es gibt einen klaren Ausgangspunkt, von dem alles abgeleitet wird, und das ist E , die Betreiber X , P und die Vertretung | X ⟩ . Diese klare Struktur sehe ich bei der Quantisierung des freien Skalarfeldes nicht.
Wenn Sie Handwinken nicht mögen, lesen Sie Weinbergs Bücher;)
@ user1620696 - Die Idee, eine klassische Theorie zu quantifizieren, ist die folgende. Gegeben sei ein klassischer Phasenraum M mit Funktionen F ( P , Q ) (die alle Observablen entsprechen) und eine symplektische Form Ω An M , Quantisierung ist der Prozess, eine lineare Darstellung des klassischen Phasenraums auf einem Quanten-Hilbert-Raum zu finden . Jede Funktion wird einem linearen Operator zugeordnet, der auf den Hilbert-Raum und wirkt Ω Abbildungen auf den Kommutator. Ein Teil des Prozesses der Quantisierung einer Theorie besteht darin, eine Repräsentation zu finden .
@ user1620696 - Das Stone-von-Neumann-Theorem besagt, dass für endlichdimensionale Systeme alle Darstellungen einheitlich äquivalent sind, sodass Sie nur eine finden müssen. Dieses Theorem lässt sich nicht auf die Quantenfeldtheorie übertragen, daher gibt es tatsächlich einheitlich inäquivalente Möglichkeiten, eine klassische Theorie zu quantifizieren.
@ user1620696 - Im SHO beginnen wir damit, Erstellungs- und Vernichtungsfunktionen zu finden A ( P , Q ) Und A ( P , Q ) ∗ das befriedigt { A ( P , Q ) , A ( P , Q ) ∗ } = − ich . Die Quantisierung der Theorie erfordert dann das Finden eines Hilbert-Raums, auf dem A ( P , Q ) Und A ( P , Q ) ∗ werden als lineare Operatoren dargestellt A Und A † das befriedigt [ A , A † ] = 1 . Dies geschieht, indem der Hilbert-Raum als Fock-Raum konstruiert wird, wie dies zweifellos bekannt ist. Die restlichen Operatoren werden bestimmt, indem die entsprechenden Funktionen in Bezug auf geschrieben werden A Und A ∗ und dann normale Bestellung.
@ user1620696 - Genau das gleiche Verfahren wird QFT ausgeführt, außer dass man jetzt eine unendliche Anzahl von Erstellungs- und Vernichtungsoperatoren hat, A P . Da das Stone-von-Neumann-Theorem nicht mehr gilt, ist dies natürlich nicht die einzige Möglichkeit, die Theorie zu quantisieren, und es gibt andere unäquivalente Möglichkeiten, dies zu tun, beispielsweise die Quantisierung unter Verwendung von Drehimpuls-Eigenzuständen. In fast allen Experimenten, die wir durchführen, werden die Zustände jedoch als Impuls-Eigenzustände angesehen, also ist dies die Quantisierung, mit der wir arbeiten.
Ähnliche Frage zu math.SE . Die Fragen, die Sie stellen, sind das, womit von Neumann, Wightman und viele andere jahrzehntelang zu kämpfen hatten. Eine Erklärung "etwas strenger" als einführende Lehrbücher in notwendigerweise Handbewegungen.
Es gibt keine Probleme, wenn Sie von Anfang an mit einer endlichen Theorie arbeiten, wie es 't Hooft tut.

Antworten (1)

Sie fordern eine präzise, ​​dh mathematisch strenge Konstruktion der freien skalaren QFT, und doch scheinen Sie nur Referenzen von Physikern und nicht von mathematischen Physikern gelesen zu haben, die dies vor langer Zeit geklärt haben. Die in den Kommentaren vorgeschlagene Referenz von 't Hooft wird Ihnen in dieser Hinsicht nicht viel helfen. Eine genaue Behandlung der kanonischen Quatisierung des freien skalaren Bosonenfeldes finden Sie beispielsweise in:

  1. Band 2 von "Methods of Modern Mathematical Physics" von Reed und Simon, siehe insbesondere Abschnitt X.7 (Ausgabe 1975).
  2. Das Buch "Quantum Physics, A Functional Integral Point of View" von Glimm und Jaffe, siehe insbesondere Kapitel 6 (Ausgabe 1987).
  3. „Quantum Mechanics and Quantum Field Theory, a Mathematical Primer“ von Dimock, siehe insbesondere Abschnitt 5.4 und Kapitel 8 (2011).
Wie füllt man die Lücken in dieser QFT-Konstruktion?
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