Hermitizitätseigenschaft von "Positions" -Operatoren mit Klein-Gordon-Innerprodukt

Question

Hermitizitätseigenschaft von "Positions" -Operatoren mit Klein-Gordon-Innerprodukt

LR

Gegeben sei ein geeigneter Funktionsraum $H$ , vermuten $H_0$ der von den Lösungen der Klein-Gordon-Gleichung aufgespannte lineare Unterraum zu sein und diesen linearen Unterraum mit dem Skalarprodukt auszustatten

⟨ Φ_{1} | Φ_{2} ⟩ = ich \int D \vec{X} (Φ_{1}^{*} \overset{\leftrightarrow}{\partial_{0}} Φ_{2}) = ich \int D \vec{X} (Φ_{1}^{*} \partial_{0} Φ_{2} - Φ_{2} \partial_{0} Φ_{1}^{*})

$\langle \Phi_1 | \Phi_2 \rangle = i\int \mathrm{d}\vec{x}(\Phi_1 ^* \overleftrightarrow{\partial_0}\Phi_2) = i\int \mathrm{d}\vec{x} (\Phi_1 ^* \partial_0\Phi_2 - \Phi_2 \partial_0\Phi_1^*)$

Frage: Sind dann die multiplikativen Operatoren $x^\mu$ hermitesch beim Einwirken $(H_0 ,\langle ,\rangle)$ ? ich denke, dass $x^0$ kann ein Problem geben.

Und wenn $x^\mu$ sind nicht hermitesch, wie soll man das definieren

L_{μ v} = X_{μ} ich \partial_{v} - X_{v} ich \partial_{μ}

$L_{\mu \nu}=x_\mu i\partial_\nu - x_\nu i \partial_\mu$

als hermitesche Generatoren einer Lorentzgruppendarstellung über $H_0$ ?

Endlich: mit einer entsprechenden Auswahl an $H$ , Ist $(H_0 ,\langle ,\rangle)$ ein Hilbertraum?

DanielC

Nur

x^{μ}

$x^\mu$ sinnvoll ist der Newton-Wigner-Operator: Newton, TD; Wigner, EP (1949). "Lokalisierte Zustände für Elementarsysteme". Rezensionen der modernen Physik. 21:400

LR

@DanielC Danke für den Kommentar, aber eigentlich bin ich nicht daran interessiert, einen Positionsoperator zu definieren, was in QFT ein ziemlich chaotisches Problem ist. Ich habe mich nur gefragt, ob der multiplikative Operator

x^{μ}

$x^\mu$ (von denen ich annehme, dass sie gut definiert sind, auch wenn dies möglicherweise nicht der Fall ist) sind angesichts dieses linearen Raums und dieses inneren Produkts hermitesch. Ich nenne sie nur "Positionsoperator", weil sie wie die Positionsoperatoren der nichtrelativistischen Quantenmechanik aussehen

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Hermitizitätseigenschaft von "Positions" -Operatoren mit Klein-Gordon-Innerprodukt

Nur $x^\mu$ sinnvoll ist der Newton-Wigner-Operator: Newton, TD; Wigner, EP (1949). "Lokalisierte Zustände für Elementarsysteme". Rezensionen der modernen Physik. 21:400
@DanielC Danke für den Kommentar, aber eigentlich bin ich nicht daran interessiert, einen Positionsoperator zu definieren, was in QFT ein ziemlich chaotisches Problem ist. Ich habe mich nur gefragt, ob der multiplikative Operator $x^\mu$ (von denen ich annehme, dass sie gut definiert sind, auch wenn dies möglicherweise nicht der Fall ist) sind angesichts dieses linearen Raums und dieses inneren Produkts hermitesch. Ich nenne sie nur "Positionsoperator", weil sie wie die Positionsoperatoren der nichtrelativistischen Quantenmechanik aussehen

Valter Moretti · Answer 1

Erstens $H_0$ kann zunächst als Menge der KG-Lösungen der Form genommen werden

\begin{matrix} (1) & Φ (X) = \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} \int_{R^{3}} ϕ_{Φ} (\vec{k}) e^{ich (\vec{k} \cdot \vec{X} - X^{0} k^{0})} \frac{D \vec{k}}{\sqrt{2 k^{0}}} \end{matrix}

$\Phi(x) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int_{\mathbb R^3} \phi_{\Phi}(\vec{k}) e^{i\left(\vec{k}\cdot \vec{x}-x^0k^0\right)} \frac{d \vec{k}}{\sqrt{2k^0}}\tag{1}$ mit

ϕ

$\phi$ im Raum der Schwartz-Funktionen und wo

k^{0} := \sqrt{{\vec{k}}^{2} + M^{2}} .

$k^0 :=\sqrt{\vec{k}^2 + m^2}\:.$ Mit dieser Wahl sehen wir das leicht

⟨ Φ_{1} | Φ_{2} ⟩ = \int_{R^{3}} \bar{ϕ_{Φ_{1}} (\vec{k})} ϕ_{Φ_{2}} (\vec{k}) D \vec{k}

$\langle \Phi_1|\Phi_2\rangle = \int_{\mathbb R^3} \overline{\phi_{\Phi_1}(\vec{k})} \phi_{\Phi_2}(\vec{k}) d\vec{k}$ Damit ist die eigentliche Hilbert-Spezifikation der Abschluss

H_{0}

$H_0$ bezüglich des Skalarprodukts und es ist offensichtlich, dass es isomorph zu ist

L^{2} (R^{3}, d \vec{k})

$L^2(\mathbb R^3, d\vec{k})$ .

Mit dieser Definition sehen Sie das $x^\mu$ ist nicht hermitesch (es ist nicht gut definiert, da sein Bild außerhalb des Hilbert-Raums liegt: offensichtlich $x^\mu\phi(x)$ ist keine KG-Lösung, wenn $\phi$ ist allgemein). Jedoch $L_{\mu\nu}$ ist hermtisch (und ist auf der anfänglich genannten Domäne gut definiert). Genauer gesagt ist es im Wesentlichen selbstadjungiert. Um die Hermitizität zu beweisen, müssen Sie nur die Operatoren unter dem Zeichen der partiell integrierenden Integration übergeben. Der Begriff $k^0$ , was eine Funktion von ist $\vec{k}$ , gibt einen Beitrag, aber alle Beiträge heben sich aufgrund der Struktur von auf $L_{\mu\nu}$ .

NACHTRAG . Eine einheitliche äquivalente Darstellung wird erhalten, indem der Hilbert-Raum unter Verwendung des Lorentz-invarianten Maßes neu definiert wird $\frac{d \vec{k}}{2k^0}$ anstatt $d \vec{k}$ , so dass der Hilbertraum ist $L^2(\mathbb R^3, d\vec{k}/2k^0)$ .

Bei dieser Wahl wird (1) durch ersetzt

\begin{matrix} (2) & Φ (X) = \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} \int_{R^{3}} ψ_{Φ} (\vec{k}) e^{ich (\vec{k} \cdot \vec{X} - X^{0} k^{0})} \frac{D \vec{k}}{2 k^{0}} . \end{matrix}

$\Phi(x) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int_{\mathbb R^3} \psi_{\Phi}(\vec{k}) e^{i\left(\vec{k}\cdot \vec{x}-x^0k^0\right)} \frac{d \vec{k}}{2k^0}\tag{2}\:.$ Die einheitliche Karte, die die beiden Hilbert-Räume miteinander verbindet, ist offensichtlich

L^{2} (R^{3}, \frac{D \vec{k}}{2 k^{0}}) ∋ ψ_{Φ} \mapsto (2 k^{0})^{- 1 / 2} ψ_{Φ} =: ϕ_{Φ} \in L^{2} (R^{2}, D \vec{k}) .

$L^2\left(\mathbb R^3, \frac{d\vec{k}}{2k^0}\right) \ni \psi_{\Phi} \mapsto (2k^0)^{-1/2}\psi_\Phi =: \phi_\Phi \in L^2(\mathbb R^2, d\vec{k}) \:.$

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DanielC

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