Konzeptionelle Schwierigkeiten beim Verständnis des kontinuierlichen Vektorraums

Ihr Zweifel ist nicht lächerlich, er liegt wahrscheinlich einfach an der verworrenen Art und Weise, wie Mathematik in der Physik oft gelehrt wird. (Ich bin auch Physiker und musste während meiner Karriere lächerliche Missverständnisse ertragen und viel Zeit damit verschwenden, nicht vorhandene pseudomathematische Probleme anzugehen, anstatt mich auf echte physikalische Probleme zu konzentrieren). Es gibt sinnvolle mathematische Definitionen , aber auch eine praktische Anwendung der Mathematik in der Physik. Aus meiner Sicht entstehen Katastrophen, wenn die beiden Ebenen verwechselt werden, insbesondere beim Unterrichten von Schülern.

Der Hilbert-Raum eines Teilchens in QM ist nicht stetig: es ist ein separabler Hilbert-Raum ,$L^2(\mathbb R)$die, nur im Hinblick auf ihre Trennbarkeit, diskrete zählbare orthogonale Basen zulässt.

Darüber hinaus beweist ein bekannter Satz, dass, wenn ein Hilbert-Raum eine zählbare orthonormale Basis zulässt, jede andere Basis zählbar ist (allgemeiner gesagt haben alle Hilbert-Basen dieselbe Kardinalität).

Im$L^2(\mathbb R)$, eine abzählbare Basis mit physikalischer Bedeutung ist z. B. die aus den Eigenvektoren$\psi_n$des harmonischen Oszillator-Hamilton-Operators.

Für praktische Berechnungen ist es jedoch zweckmäßig, auch von formalen Eigenvektoren beispielsweise des Ortsoperators zu sprechen:$|x\rangle$. In diesem Fall,$x \in \mathbb R$so könnte es scheinen$L^2(\mathbb R)$gibt auch unzählige Basen zu. Ist es falsch!$\{|x\rangle\}_{x\in \mathbb R}$ist keine orthonormale Basis. Es ist nur ein formales Objekt , das bei Berechnungen (sehr) nützlich ist.

Will man diese Objekte rigoros machen, sollte man sich den Raum der Zustände als direktes Integral darüber vorstellen$\mathbb R$von endlichdimensionalen Räumen$\mathbb C$, oder als manipulierter Hilbert - Raum . Allerdings in beiden Fällen$\{|x\rangle\}_{x\in \mathbb R}$ist keine orthonormale Hilbertsche Basis. Und$|x\rangle$gehört nicht dazu$L^2(\mathbb R)$.

Als letzte Bemerkung möchte ich betonen, dass die Vektoren von$L^2(\mathbb R)$sind Äquivalenzklassen von Funktionen:$\psi$ist äquivalent zu$\phi$iff$\int| \psi(x)−\phi(x)|^2 dx=0$, also wenn$\psi(x)\neq \phi(x)$auf einer Menge, deren Maß verschwindet, definieren sie jedoch den gleichen Vektor von$L^2$. Folglich der Wert, den ein Element des Raums zu einem gegebenen Zeitpunkt annimmt$x$macht keinen Sinn, da jeder Satz$\{x\}$hat Nullmaß.