Zustände in der QM und im algebraischen Ansatz

In QM sind Zustände Vektoren in einem Hilbertraum$\mathscr{H}$. Diese werden oft mit like bezeichnet$|\psi\rangle$.

Andererseits haben wir im algebraischen Ansatz eine$\ast$-Algebra$\mathscr{A}$und Zustände sind lineare Funktionale$\omega : \mathscr{A}\to \mathbb{C}$so dass$\omega(a^\ast a)\in [0,\infty)$Und$\omega(1)=1$.

Es ist überhaupt nicht klar, wie diese beiden Dinge zusammenhängen.

Als ersten Schritt haben wir die GNS-Konstruktion. Der GNS-Aufbau ist folgender:

GNS-Konstruktion : Gegeben a$\ast$-Algebra$\mathscr{A}$und ein Staat$\omega : \mathscr{A}\to \mathbb{C}$wir können einen Hilbert-Raum konstruieren$\mathscr{H}_\omega$, eins$\ast$-Darstellung$\pi_{\omega} : \mathscr{A}\to \mathscr{A}(\mathscr{H}_\omega)$und ein$\Omega \in \mathscr{H}$so dass$\pi_{\omega}(\mathscr{A})\Omega$ist dicht u

$$\omega(a)=\langle \Omega ,\pi_\omega(a)\Omega\rangle.$$

Jetzt haben wir einige interessante Dinge:

1. Jeder algebraische Zustand$\omega$entsteht ein ganzer Hilbertraum auf dem$\omega$wird zum Ausgezeichneten$\Omega$und es erzeugt einen Mittelwert im üblichen QM-Sinn.

2. Die anderen Einheitsvektoren auf dem Hilbert-Raum führen zu algebraischen Zuständen. Eigentlich wenn$\Phi\in \mathscr{H}$wir haben das

   $$\omega_\Phi(a)=\langle \Phi, \pi_{\omega}(a)\Phi\rangle$$ ist ein algebraischer Zustand. Es ist offensichtlich ein lineares Funktional und erfüllt sicherlich$\omega_{\Phi}(1)=1$Und $$\omega_{\Phi}(a^\ast a)=\langle \Phi,\pi_{\omega}(a^\ast a)\Phi\rangle=\langle \Phi,\pi_{\omega}(a^\ast)\pi_{\omega}(a)\Phi\rangle=\langle \Phi,\pi_{\omega}(a)^\ast \pi_\omega(a)\Phi\rangle=\langle \pi_\omega(a)\Phi,\pi_{\omega}( a)\Phi\rangle=|\Phi|^2\in [0,+\infty)$$

3. Andererseits scheint nicht jeder algebraische Zustand zu einem gewöhnlichen Zustand in zu führen$\mathscr{H}_\omega$. In Wahrheit würde dies aufgrund des Rieszschen Darstellungssatzes zu jedem algebraischen Zustand genügen$\phi$es gab einen algebraischen Zustand$\tilde{\Phi}$An$\mathscr{A}(\mathscr{H}_\omega)$. Das wiederum erfordert das$\tilde{\Phi}(\pi_{\omega}(a))=\phi(a)$Damit dies wahr ist, bräuchten wir also$\pi_\omega$umkehrbar sein. Mit anderen Worten, die Darstellung muss getreu sein.

Diese Punkte zeigen, dass die algebraischen Zustände zwar mit den üblichen Zustandsvektoren aus der QM verwandt sind, diesen aber nicht äquivalent sind. Tatsächlich scheinen wir mehr algebraische Zustände als Zustandsvektoren zu haben.

Darüber hinaus erlaubt uns GNS, jeden Zustand zwar als Zustandsvektor darzustellen, aber auf unterschiedlichen Hilbert-Räumen. Der Punkt (2), den ich gemacht habe, garantiert dann, dass jeder solcher Zustandsvektor mit einem algebraischen Zustand identifiziert werden kann, aber es gibt andere davon abgesehen, die nicht auf diesen Hilbert-Raum gehören. Selbst wenn wir einen dieser Zustände in (2) auswählen und die GNS-Konstruktion mit ihnen durchführen, scheint es, als würden wir einen völlig anderen Hibert-Raum erhalten.

Es scheint, dass die Rolle algebraischer Zustände nur darin besteht, eine Darstellung zu erzeugen, und dies ist angesichts der üblichen QM-Sichtweise auf Zustände ziemlich seltsam.

Was ist also der richtige Weg, um algebraische Zustände zu verstehen? Wie beziehen sie sich auf die übliche Vorstellung von Zuständen aus QM? Um mit ihnen in der Praxis zu arbeiten, müssen wir immer die GNS-Konstruktion verwenden?

Wie gehen wir mit der Tatsache um, dass es anscheinend mehr algebraische Zustände als QM-Vektorzustände gibt, in dem Sinne, dass bei der GNS-Konstruktion einige algebraische Zustände „ausgelassen“ zu sein scheinen?