Algebraische Formulierung von QFT und unbeschränkten Operatoren

Das Problem kann von mehreren Gesichtspunkten aus angegangen werden. Zunächst einmal kann man einfach ein (unital)$^*$-Algebra (die sogenannte Borchers-Uhlmann-Algebra im QFT-Fall), wodurch alle Anforderungen an die Beschränktheit von Observablen fallen gelassen werden und alle Hauptmerkmale des algebraischen Ansatzes wie die GNS-Konstruktion erhalten bleiben . Obwohl offensichtlich einige technische Einzelheiten komplizierter werden, da die relevanten topologischen Eigenschaften auf andere Weise eingeführt werden müssen (im Sinne von Halbnormen, die möglicherweise durch eine physikalisch sinnvolle Klasse von Zuständen induziert werden).

Bleiben Sie jedoch bei der richtigen$C^*$-Algebren und damit den Umgang mit (abstrakten) beschränkten Observablen, ist die Beschränktheitsforderung nicht so physikalisch unhaltbar, wie es auf den ersten Blick erscheinen mag. Angenommen, in einem gegebenen Hilbert-Raum mit konkreten Algebren von Operatoren zu arbeiten und sich auf eine unbeschränkte Observable zu konzentrieren$A$. Experimente können nur einen beliebig großen, aber endlichen Wertebereich abschätzen$[-n,n]$von$A$. Also zu den erreichten Werten von$A$, eine Unterscheidung ist nicht möglich

(wobei wir die spektrale Zerlegung von ausgenutzt haben$A$) und das beschränkte Observable sagen:

Es ist möglich, zwischen diesen beiden Observablen zu unterscheiden, indem man sich auf theoretische Fragen stützt. Zum Beispiel$A$(aber nicht$A_n$) kann der Erzeuger einer physikalisch relevanten einheitlichen Symmetrie des betrachteten physikalischen Systems sein.

Jedenfalls die ganze Klasse der beschränkten Observablen$\{A_n\}_{n\in \mathbb N}$enthält die gesamten physikalischen und mathematischen Informationen von$A$selbst. Insbesondere mathematisch gesehen$A_n \to A$in der starken Operatortopologie für$n\to +\infty$ bei der Arbeit an der Domäne von$A$.

Schließlich sogar ausgehend von einem Abstract$C^*$-Algebra, entstehen physikalisch sinnvolle unbeschränkte Observablen immer sobald man einen algebraischen Zustand festlegt und die Algebra im zugehörigen GNS-Hilbert-Raum darstellt. Darin sind zum Beispiel alle kontinuierlichen Symmetrien, die der Staat genießt (und repräsentiert durch$C^*$-Algebren-Automorphismen, die den Zustand invariant lassen) sind (stark kontinuierlich) einheitlich implementiert und lassen daher (im Allgemeinen unbeschränkte) selbstadjungierte Generatoren mit physikalischer Bedeutung zu. Alle Erhaltungsgrößen (Energie, Impuls usw.), die typischerweise durch unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren repräsentiert werden, gehen auf diese Weise in die Theorie ein, beispielsweise bezüglich des lokalen Weyl$C^*$Algebra von Feldoperatoren in einer QFT, sobald ein Referenzzustand gewählt wird.

(Es muss betont werden, dass das gleiche Verfahren zu Superselektionsregeln führen kann, zusätzlich zu denen, die bereits in der Zusammenfassung vorhanden sind$C^*$-Algebren von Observablen. Diese sind mit der Wahl des Referenzzustandes verbunden, in dem man die Theorie und die durch die GNS-Darstellung erzeugte von Neumann-Algebra darstellt.)