Allgemeinste trennbare Lösung der freien Dirac-Gleichung

In der relativistischen Quantenmechanik wird die Lösung der freien Dirac -Gleichung angenommen

Ψ ( R , T ) = u ( P ) e ich ( P ⋅ R − E T )
Woher weiß ich, dass dies die allgemeinste trennbare Lösung ist?

Ich habe versucht, dies explizit durch die Methode der Trennung von Variablen als abzuleiten

Ψ ( R , T ) = u ( P ) Φ ( R ) T ( T )
Durch Einsetzen in die freie Dirac-Gleichung, die ich trivialerweise erhalten habe
T ( T ) ∼ e − ich E T
aber ich kann den Raumteil der Gleichung nicht lösen (in einer Darstellung habe ich die Dirac-Pauli-Darstellung verwendet). Die Gleichung, bei der ich feststecke, lautet:
− ich a ⋅ ∇ Φ Φ u + β M u = E u
Wo E ist die Trennungskonstante (die dimensional die Energie ist). Wie man diesen Teil löst, um das zu zeigen Φ ∼ e ich P ⋅ R . Jeder Vorschlag in dieser Hinsicht wird hilfreich sein.

∙ Ich habe die Gleichung in natürlichen Einheiten geschrieben, dh C = ℏ = 1 .

Antworten (1)

Der Dirac-Operator H = − a ⋅ ich ∇ + β M ist selbstadjungiert an L 2 ( R 3 , C 4 ) . Daher können Sie eine allgemeine Lösung schreiben als ψ ( T , X ) = e − ich T H ψ 0 , ψ 0 ∈ L 2 ( R 3 , C 4 ) .

Das Problem mit expliziten Lösungen vom "Eigenvektortyp" (für eine Energie E ) ist, dass sie nicht zu den gehören können L 2 Raum, denn das Spektrum des Operators ist stetig. Während die Eigenwertgleichung (in einem geeigneten Raum also nicht L 2 ) explizit für den Laplace-Operator leicht zu lösen ist und die üblichen ebenen Wellen ergibt, ist es für den Dirac-Operator komplizierter, sodass die Physiker die von Ihnen geschriebene Annahme treffen.

Trotzdem die allgemeinste Lösung im relevanten physikalischen Raum L 2 , wie ich oben sagte, ist mathematisch perfekt definiert zu sein e − ich T H ψ 0 , gegeben ψ 0 ∈ L 2 . (es ist offensichtlich nicht so explizit, aber sicherlich gut definiert)

Allgemeinste trennbare Lösung der freien Dirac-Gleichung
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v